Soy un TA para un curso de cálculo. Recientemente se comenzó a calcular integrales definidas utilizando una definición equivalente a la de Riemann, de criterio. Por supuesto, el tipo de cosas que les calcular eran bastante elementales, tales como $$\int_0^1x\;dx\qquad\text{and}\qquad\int_0^1x^2\;dx$$ A sabiendas de que el teorema fundamental del cálculo fue en el itinerario, me decidí a darles un reconocimiento por el resultado, demostrando una mucho más resultado general (aún usando rectángulos). Es decir, me mostró: $$\int_a^b x^n\;dx=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}$$ Esto puede ser calculado de una manera que se asemeja a la de cálculo de los ejemplos anteriores. Siempre y cuando uno sabe que $$\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+m^n}{\frac{m^{n+1}}{n+1}}=1$$ uno es capaz de continuar. Por supuesto, yo tenía que dar un flojo argumento de por qué esto es cierto, pero sabiendo que $$1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}n^2+\cdots \qquad\text{ and } 1^2+2^2+ \cdots +n^2 = \frac{1}{3}n^3 + \cdots$$ El patrón parece plausible. Pensé que esto era lindo, así que también les dio la prueba de que $$\int_0^x\cos t\;dt=\sin x$$ que se pueden derivar de rectángulos utilizando Dirichlet de la identidad: $$1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left([n+1/2]x\right)}{\sin(x/2)}$$ Para estar seguro, muchos estudiantes se encuentran en naciones unidas, divertida, pero todos ellos enormemente afirmó que estaban contentos de tener el teorema fundamental después de haber sido entregado a ellos. Así que objetivo conseguido. Pero yo estaba intrigado por cómo muchas otras integrales podría evaluar usando el método ingenuo? $$\int_0^x e^t\;dt$$ no es tan malo, ya que es una forma geométrica de la suma. La siguiente cosa en línea era, por supuesto, $$\int_1^x\ln t\; dt$$ Aquí es donde me metieron en problemas. Yo había estado usando el hecho de que $$\int_a^b f(x)\;dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}$$ para integrable $f$ hacer un primer plano continuo de los hechos. Pero este enfoque parece inabordable por $$\int_1^x\ln t\; dt$$ Al menos, yo no tengo el requisito de límite de conocimientos o 'algebraicas truco' que se necesita para proceder. Yo era capaz de calcular esto con el hecho de que $$\int_0^{\ln x}e^t\;dt+\int_1^x\ln t\;dt=x\ln x$$ que es una relación que puede ser probado de una manera natural. Pero yo estaba esperando que alguien aquí sabía que el 'truco' que se necesitan para calcular $$\int_1^x \ln t\;dt$$ sin el teorema fundamental o de confiar en la intuición para reflejar el área en cuestión. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuesta
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Para logarítmica de las integrales de una subdivisión en progresión geométrica, es a menudo conveniente. Set $r=\sqrt[n]{x}$ y considerar la parte superior de la suma $$ \sum_{k=1}^n (r^k-r^{k-1})\ln(r^k)= \ln r\sum_{k=1}^n k(r^k-r^{k-1}) $$ Es fácil demostrar, por inducción, que $$ \sum_{k=1}^n k(r^k-r^{k-1})=nr^n-\sum_{k=0}^{n-1}r^k =nr^n-\frac{r^n-1}{r-1} $$ Poner de nuevo las $r=x^{1/n}$, obtenemos, para la parte superior de la suma, la expresión $$ \left(x-\frac{x-1}{n(x^{1/n}-1)}\right)\ln x $$ Ahora, $$ \lim_{n\to\infty}n(x^{1/n}-1)=\lim_{t\to0^+}\frac{x^t-1}{t}=\ln x $$ por lo que el límite de la parte superior de sumas es $$ \left(x-\frac{x-1}{\ln x}\right)\ln x=x\ln x-x+1 $$
Verificación de igual manera para la menor de las sumas y ver que está de acuerdo con esto $$ \int_1^x\ln t\,dt=x\ln x-x+1 $$
