$(\Bbb R \to \Bbb R : x\mapsto x^2)\equiv(\Bbb R \to \Bbb{R}_{\geq 0} : x \mapsto x^2) \not\equiv (\Bbb C \to \Bbb C:x\mapsto x^2)$

Question

Considere las siguientes funciones:
$f:\Bbb R \to \Bbb R : x\mapsto x^2$
$g:\Bbb R \to \Bbb{R}_{\geq 0} : x \mapsto x^2$
$h:\Bbb C \to \Bbb C:x\mapsto x^2$

Estoy bastante seguro de que $h$ no es igual a $f$ o $g$, pero no estoy seguro de si $f$ $g$ son iguales o sean desiguales.

Si usted ve $f$ $g$ como subconjuntos de a $\Bbb R \times \Bbb R$, entonces yo creo que ambos son iguales. Sin embargo, el codominio de $f$ no es el mismo que el codominio de $g$, para ello se podría argumentar, $f$ $g$ no son iguales. Si estamos de acuerdo en que $f=g$, yo no veo el punto de especificar el codominio.

En la universidad aprendí esta definición de "la Lectura, la Escritura, y que acrediten: Un Vistazo más de Cerca a las Matemáticas":

Una función de $f:X\to Y$ es una relación $f$ $X$ $Y$la satisfacción de:
i). $\forall x\in X ,\exists y\in Y :(x,y)\in f $
ii). $\forall x\in X,\forall y_1,y_2 \in Y : (x,y_1),(x,y_2)\in f\implies y_1=y_2$

Una función es a menudo llamado un mapa o una asignación. El conjunto es $X$ es llamado el dominio y se denota por a $\text{dom}(f)$, y el conjunto de $Y$ es se llama el codominio y se denota por a $\text{cod}(f)$. Cuando sabemos lo que estos dos conjuntos son y se cumplan dos condiciones, decimos que $f$ está bien definida la función.

A partir de esta definición se llego a la conclusión de que $f\not=g$. Es esto correcto ? Hay definiciones en las matemáticas, donde $f=g$? Puede alguien aclararme un poco aquí ?

Answer 1

Si se define una función como un conjunto de pares ordenados con una cierta propiedad, a continuación, $f$ $g$ son iguales. Ambos tienen la misma pares ordenados.

Si se define una función como un triplete de dominio, codominio y un gráfico (que es el conjunto de pares ordenados a partir de la primera definición, en muchos casos), a continuación, $f$ $g$ no son iguales porque tienen diferentes codomains.

En cualquier caso, $h$ es diferente porque tiene un dominio diferente y diferentes pares ordenados (por ejemplo, el par $(i,-1)$ no $f$ o $g$, o en sus gráficos como por la segunda definición).

La definición anterior es muy útil en la teoría de conjuntos, esto último es muy útil en la categoría de teoría. Por lo general, no realmente importa para las matemáticas como comprender el punto fino de las diferencias y de cómo pasar de una forma a otra cuando usted los necesita.

También interesante: Definición de la Función (MathOverflow).

Answer 2

Como yo lo entiendo, en algunas áreas de las matemáticas, se puede hablar de "la curva de $y=x^2$, y entonces, a veces, hablar de "real de los puntos de la curva" o "complejo de los puntos de la curva", y así sucesivamente. En ese caso, supongo que la curva no es un conjunto de pares ordenados en el sentido de su libro de texto.

Answer 3

Yo diría que, efectivamente, $f \equiv g$ en esta situación, porque desde $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{\ge0} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, $g\in\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{\ge0}$ también significa que $g\in\mathbb{R} \times \mathbb{R}$