¿Exacta beta funciones existen en (super)teorías de gravitación y la teoría de cuerdas?

Question

Exacto beta de la función existe para Super-Yang-Mills teorías en 4D sin la materia - el llamado NSVZ función beta.

Hace un parecido exacto beta-función existe en la gravedad o las teorías de supergravedad? En la teoría de cuerdas? Favor de proporcionar referencias.

Answer 1

Voy a presentar el ejemplo más sencillo de beta funciones derivadas de la teoría de cuerdas, específicamente dentro de la bosonic la teoría de cuerdas. Los estados transformar en el $24 \otimes 24$ representación de $SO(24)$, equivalente a tres representaciones irreducibles; esquemáticamente,

$$(\mathrm{traceless \;symmetric} )\otimes (\mathrm{antisymmetric}) \otimes (\mathrm{singlet})$$

A cada asociado un campo sin masa, el escalar dilaton $\Phi(X)$, un campo de $G_{\mu\nu}(X)$ y otro que comúnmente se denota la Kalb-Ramond de campo, $B_{\mu\nu}$, lo que puede interpretarse como una generalización de la 4-potencial en el electromagnetismo. Nota: estos campos 'en vivo' en la worldsheet de la cadena. La acción de una cadena en el fondo de estos campos está dada por,

$$S = \frac{1}{4\pi \alpha'}\int \! \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{|g|} \, \left[ G_{\mu\nu} \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu g^{\alpha \beta} +i B_{\mu \nu}\partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \epsilon^{\alpha \beta} + \alpha' \Phi R^{(2)}\right]$$

Podemos calcular el beta de las funciones de la teoría de cuerdas en la forma estándar, las cuales están dadas por$^{\dagger}$,

$$\beta_{\mu\nu}(G) = \alpha'R_{\mu\nu} + 2\alpha'\nabla_\mu\nabla_\nu \Phi - \frac{\alpha'}{4}H_{\mu\lambda \kappa}H^{\lambda \kappa}_\nu$$

$$\beta_{\mu\nu}(B) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^\lambda H_{\lambda\mu\nu} + \alpha' \nabla^\lambda \Phi H_{\lambda \mu \nu}$$

$$\beta(\Phi) = -\frac{\alpha'}{2}\nabla^2 \Phi + \alpha' \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi -\frac{\alpha'}{24}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda}$$

Para preservar la invariancia de escala, debemos exigir todos estos son de fuga. Por lo tanto, podemos construir una acción, conocida como el bajo consumo de energía eficaz de la acción de bosonic la teoría de cuerdas, cuyas ecuaciones de movimiento son equivalentes a la beta de funciones, es decir,

$$S=\frac{1}{2\kappa^2_0} \int \! \mathrm{d}^{26}X \, \sqrt{|G|} \, e^{-2\Phi} \, \left( R - \frac{1}{12}H_{\mu\nu\lambda}H^{\mu\nu\lambda} + 4 (\partial_\mu \Phi)^2 \right)$$

Por lo tanto, la beta funciones pueden ser vistos como las ecuaciones de movimiento. Aviso de la acción toma la forma de la acción de Einstein-Hilbert, con una 2-forma y escalares del campo, junto a la de la gravedad. (Una transformación de Einstein marco de hace esto evidente.)

---

$\dagger$ Beta funciones a un solo lazo de la orden. De orden superior cálculos dar lugar a nuevas correcciones a las ecuaciones de campo de Einstein; en un bucle orden en que están de acuerdo, $\alpha' R_{\mu\nu}=0$. El campo $H$ es un campo de fuerza; en las formas, $H = \mathrm{d}B$.

---

Recursos:

1. Para la obtención completa de la beta funciones, consulte el Sigma Modelos y la Teoría de cuerdas TASI notas de la conferencia por Callan y Thorlacius.
2. Becker, Becker y Schwarz M-Teoría y de la Teoría de cuerdas proporcionar una discusión de las soluciones a las ecuaciones de movimiento de baja energía con acciones efectivas incluyen mayores dimensiones de los agujeros negros.

Answer 2

@Las diez de La NSVZ beta de la función existe para las teorías con la materia así. Acabo de leer el scholarpedia artículo cuidadosamente. Lo que pasa es que el NSVZ función beta para el medidor de constantes de acoplamiento depende de la anómala dimensiones de la cuestión de los campos.

Un ejemplo muy bueno es el considerar a $\mathcal{N}=4$ SYM la teoría y la escritura como una $\mathcal{N}=1$ teoría, el espectro consiste entonces en una $\mathcal{N}=1$ vector multiplet y tres quirales multiplets. Deformar la superpotenciales en el más general cúbicos superpotenciales. Leigh y Strassler uso de la desaparición de la NSVZ función beta para el indicador de acoplamiento impone una restricción adicional de que el anómalo de las dimensiones de la quirales escalares debe desaparecer, que conduce a una teoría de la cual está conformada con $\mathcal{N}=1$ supersimetría. Esta teoría se generaliza el beta-deformación de $\mathcal{N}=4$ SYM. Hay muchos ejemplos más en su papel. Dos más papeles por Arkani-Hamed y Murayama podría proporcionar más ejemplos. Prueba 1 y prueba 2.

(@Diez me doy cuenta de que quieres ejemplos de la teoría de cuerdas/supergravedad, pero es importante tener en cuenta la generalidad de la NSVZ función beta. Así que voy a publicar mi respuesta. Espero que no te importa. Si es así, hágamelo saber y voy a eliminar mi respuesta. Por supuesto, uno sabe que cualquiera de las dos dimensiones CFT tiene una fuga función beta.)