Definición: Un espacio vectorial sobre un campo $K$ compone de un conjunto $V$ y dos operaciones binarias $+: V \times V \a V$ y $\cdot: K \times V \a V$ cumplen los siguientes axiomas:
Conmutatividad de la $+$.- La asociatividad de $+$.
- La existencia de un elemento de identidad $\mathbf{0}$ para $+$.
- Existencia de inversos para $+$.
- Compatibilidad de $\cdot$ con la multiplicación en $K$.
- La distributividad de $\cdot$ sobre $+$.
- La distributividad de $\cdot$ sobre la suma de $K$.
- $1_K$ es a la izquierda de la identidad de $\cdot$.
Pregunta: Son las siete de la anterior axiomas necesarios (en el sentido de que el debilitamiento de cualquiera de ellos permite una estructura que no es un espacio vectorial)? Si no, lo que puede ser debilitado (o eliminado)?
EDIT: user7530 tiene muy hábilmente demostrado que la conmutatividad de la $+$ se pueden derivar de los axiomas 2-8. Suponiendo que tenemos que tirar de esto, puede que el resto de los axiomas de todo ser necesario?
EDIT 2: se señaló que el axioma 3, simplemente no puede ser descartada, ya que la definición de una función inversa en el axioma 4 depende de la existencia de $\mathbf{0}$. Lo que si podemos modificar la declaración de axioma axioma 4 a 4': "Para todo $x \in V$ existe $y \in V$ tales que $(x+y)+x = x$ y $(y+x)+y = y$"? Es esta versión debilitada equivalente a la original, y si es así, ¿permite la eliminación de axioma 3?
Respuestas
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Creo que son redundantes, después de todo! He aquí una prueba de que el axioma 1 es redundante. Deje que $a,b\in V$, y considerar $(1+1)\cdot (a+b)$. Por el axioma 7 y 8, esto es igual a $(a+b)+(a+b)$; en la otra mano por el axioma 6 es de $(1+1)\cdot a + (1+1)\cdot b$, o $(a+a)+(b+b)$ por axioma 7 y 8. A continuación, podemos utilizar los axiomas 2, 3, 4 para mostrar que \begin{align*} a^{-1} + (a+b) + (a+b) + b^{-1} &= a^{-1} + (a+a) + (b+b) + b^{-1}\\ b + a &= a + b \end{align*} y $V$ es Abelian.
La necesidad de algunos de los otros axiomas:
4: Tomar $V=[0,\infty)$ virtud de la multiplicación, y $K=\mathbb{R}$, con $z\cdot x \mapsto \begin{casos} x^z, & x\neq 0\\0, y x=0.\end{casos}$
5: Considere $K=\mathbb{C}$, $V=\mathbb{R}$ con $z\cdot x = \Re(z)x$.
6: Necesarios una vez que usted lanza conmutatividad. Tomar $K=F_3$ y $V$ el de Heisenberg grupo de más de $F_3$, con $z\cdot x = x^z$. Dado que todos los elementos de $V$ tienen el fin de dividir 3, axioma 7 está satisfecho, pero $$\left(\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 &0\\0 & 1 & 1\\0 & 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 &1\end{array}\right]\right)^2 \neq \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 &0\\0 & 1 & 1\\0 & 0& 1\end{array}\right]^2\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 &1\end{array}\right]^2.$$
7: Tomar $K=\mathbb{C}$, $V=\mathbb{R}$ y $z\cdot x = |z|x$.
8: Véase el comentario por Jyrki a continuación.
Usted no será capaz de eliminar por completo axioma 3, ya que de lo contrario $V=\emptyset$ (vacuously) cumplir con los demás axiomas. Sin embargo, puede quitar axioma 4 si reemplazar axioma 3, con esto poco más fuerte que el de la versión (que voy a llamar axioma 3*):
(Axioma 3*) existe un elemento de $\mathbb{0'} \in V$ tal que para todo $x \in V$, $0_K \cdot x = \mathbb{0'}$.
(Aquí, yo uso la notación de $\mathbb{0'}$ para indicar que esto es un no estándar de la definición de $\mathbb{0}$).
Axioma 3* implica el axioma 3 y 4
Que este elemento es un aditivo de identidad de la siguiente manera a partir de los axiomas de 6 y de 8: hemos $$\mathbb{0'} + x = 0_k \cdot x + 1_k \cdot x = (0_k + 1_k)\cdot x = 1_k \cdot x = x.$$
También, para cada $x \in V$, tenemos $$x + (-1_K)\cdot x = (1_K)\cdot x + (-1_k)\cdot x = (1_K + -1_K)\cdot x = 0_k \cdot x = \mathbb{0'}$$ para cada $x \in V$ ha como un proceso inverso a $(-1_K)\cdot x$.
Los axiomas 3 y 4 implica el axioma 3*
Tenemos que
$$(0_K)\cdot x + x = (0_k + 1_K) \cdot x = x$$
así, lo que denota la inversa de $$ x $x$,
$$(0_K)\cdot x + x + (-x) = x+(-x)$$ $$(0_K)\cdot x + \mathbb{0} = \mathbb{0}$$ $$(0_k) \cdot x = \mathbb{0}$$
Creo que $6$ es, de hecho, indispensable, y puede ser el equivalente a $1$, aquí está mi razonamiento:
lo $6$ en realidad dice es que tienen una acción de $(F,+)$ a $(V,+)$, es decir, el mapa de $v \mapsto\cdot v$ (vamos a llamar a este mapa de $\phi_a$) induce un grupo homomorphism (la operación $+$):
$F \a V$ través $a \mapsto \phi_a(v)$ para cualquier fijo $v \V$.
De hecho, nos podemos relajar el espacio vectorial axiomas para permitir $R$ a ser un anillo conmutativo con unidad, y obtener un $R$-bimodule. Ahora hay un único homomorphism $\psi:\Bbb Z \a R$ envío de us $1 \mapsto 1_R$, y esto nos permite definir en cualquier $R$-bimodule $M$, $\Bbb Z$-acción:
$n\cdot m = \psi(n)\cdot m$.
Ahora la manera intuitiva de tratar de imponer un $\Bbb Z$-acción en un grupo $G$, es tratar de poner:
$n\cdot g = g^n$.
Sin embargo, $g \mapsto g^n$ es un elemento de $\text{End}(G)$ para todo $n \in \Bbb Z$ si y sólo si $G$ es abelian (el "si" es obvio, el "sólo si" se puede probar usando $n = 2$, que es esencialmente user7530 del argumento).
