¿Cómo podemos demostrar que esta función debe ser lineal?

Question

Deje $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ ser continua. Supongamos que para cualquier secuencia $(r_n)_{n=0}^{\infty}$$\lim_{n\to\infty}r_n=0$, y cualquier $x\in(a,b)$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x-r_n)+f(x+r_n)-2f(x)}{r_n^2}=0$$

Mostrar que $f$ es una función lineal.

Claramente el límite del numerador es cero, quiero concluir que el numerador debe ser cero para todos los $n$, luego de esto a la conclusión de $f$ es lineal. No estoy seguro de si este es el enfoque correcto. ¿Hay alguna sugerencias?

Answer 1

Creo que se necesita más que sólo $f$ ser continua en $(a,b)$, pero si se supone que:

$\exists x_0 \in (a,b)$ tal que $f''(x_0) \neq 0$

a continuación, la propiedad $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{f(x-r_n)+f(x+r_n)-2f(x)}{r_n^2}=0$ no se cumple para $x=x_0$.

Answer 2

Sugerencia: Usted necesita la simétrica de la fórmula de la derivada segunda

$$ f''(x)= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}. $$