¿No es riguroso el cálculo?

Question

Mientras estudiaba cálculo simple y multivariable durante mi primer año algunas personas se quejaban de que el cálculo no era lo suficientemente riguroso, cuando pregunté sobre esto nadie parecía ser capaz de especificar exactamente lo que no era riguroso al respecto. Así que quiero preguntar si esto es cierto o si mis amigos intentaron hacerse los listillos. Mis profesores no mencionaron nada al respecto.

Lo único que se me ocurre es que consideremos $\mathbb{R}$ (y $\mathbb{R}^n$ ) y simplemente "la recta numérica de todos los números que se te ocurran". No nos importaba en absoluto la construcción de los reales. Pero estoy bastante seguro de que esto no es lo que querían decir.

No creo que vaya a tomar ningún curso robusto de análisis real, así que quiero preguntar si las definiciones y pruebas estándar que implican límites, derivadas, diferenciabilidad, continuidad, integrales, etc. con las que uno tropieza en cálculo se "simplifican" de alguna manera en cálculo y se hacen más formales y "claras" en cursos posteriores y más avanzados de análisis real.

Si esto es cierto, ¿existe algún buen ejemplo que pueda ilustrarlo para alguien que tenga un poco de miedo a los épsilon y los deltas?

Answer 1

Ya has identificado uno de los mayores problemas:

consideramos $\Bbb R$ (y $\Bbb R^n$ ) que se le dará y sólo una especie de "la recta numérica de todos los números que se te ocurran"

Como resultado, hay algunos muy teoremas importantes que apuesto a que no demostraste formalmente (aunque probablemente sí hiciste los dibujos correspondientes), como el Teorema del Valor Intermedio. En última instancia, el IVT es un enunciado topológico sobre cómo se comportan los reales que, en cierto modo, formaliza lo que entendemos por "todos los números que se te ocurran", al menos en lo que se refiere a rellenar huecos y hacer $\mathbb{R}$ completo. No discutir lo que un espacio métrico completo en realidad es significa que va a faltar bastante.

Del mismo modo, el Teorema del Valor Extremo, que es el paso clave para demostrar el Teorema del Valor Medio, es algo a lo que uno no suele acercarse sin unos conocimientos topológicos básicos (o un conocimiento de las secuencias bastante más profundo que el típico de un curso de cálculo general). Los dos teoremas que he mencionado se basan realmente en ese concepto de "completitud", o de "no tener agujeros".

Pero por lo demás, el curso es probablemente bastante riguroso - el $\epsilon-\delta$ desde el punto de vista técnico, y se pueden hacer bastantes cosas. sólo usándolo.

Answer 2

Las ramas matemáticas no son más o menos rigurosas por sí mismas. Lo que puede ser más o menos riguroso es cómo se abordan.

A menudo verá Álgebra y Topología como "muy rigurosas" mientras que Cálculo Numérico y Estadística parecen "no tan rigurosas", pero no hay nada intrínsecamente cierto en esa afirmación. Estas diferencias surgen de sus aplicaciones, no de las disciplinas en sí. En otras palabras, puedes hacer que tu Estadística (o Cálculo, o lo que sea) sea tan rigurosa como quieras.