Rango De $\frac{|a+b|}{|a|+|b|}+\frac{|b+c|}{|b|+|c|}+\frac{|c+a|}{|c|+|a|}$

Question

Encontrar el rango de $\dfrac{|a+b|}{|a|+|b|}+\dfrac{|b+c|}{|b|+|c|}+\dfrac{|c+a|}{|c|+|a|}$

$a$,$b$,$c$ son números reales, donde $a\neq 0$ , $b\neq 0$ , $c\neq 0$

Answer 1

Sugerencia: al menos dos de los números $a$, $b$, $c$ tienen el mismo signo.

Por lo tanto $$1 \le \dfrac{|a+b|}{|a|+|b|}+\dfrac{|b+c|}{|b|+|c|}+\dfrac{|c+a|}{|c|+|a|} \le 3.$$

Sin pérdida de generalidad podemos suponer $a, b > 0$. Entonces si $c>0$, entonces la suma es igual a 3. De lo contrario, el primer término es 1 y cada uno de los dos términos restantes puede ser igual a cualquier número entre el$0$$1$.