Estoy estudiando KS (test de Kolmogorov-Sinai) de la entropía de orden p y se puede definir como
$$ h_q = \sup_P \left(\lim_{m\to\infty}\left(\frac 1 m H_q(m,ε)\right)\right) $$
¿Por qué es definido como supremum sobre todas las posibles particiones P y no máximo?
Al hacer uso de la gente de supremum y al máximo?
Si el máximo existe, entonces el supremum y máximo son los mismos. Sin embargo, a veces la máxima no existen, y no hay ningún elemento maximal. En este caso todavía tiene sentido hablar de un mínimo de límite superior.
El ejemplo clásico es el conjunto de todos los racionales cuyo cuadrado es menor o igual a $2$. Que es el conjunto $$A=\left\{ r\in\mathbb{Q}:\ r^{2}\leq2\right\}.$$
$A$ no tiene elemento maximal, sin embargo, sí tiene un supremum y $\sup A=\sqrt{2}$.
Incluso un simple ejemplo es el conjunto de todos los reales de los que son estrictamente menor que $2$: $$B=\left\{ r\in\mathbb{R}:\ r<2\right\}.$$ This set has no maximum since for any $x\in B$ the element $\frac{x+2}{2}$ satisfies $x<\frac{x+2}{2}<2$. However it is not hard to see that $\sup B=2$.
Una máxima es el número más grande DENTRO de un conjunto. Una sup es un número que los LÍMITES de un conjunto. Una sup pueden o no ser parte de la serie en sí (0 no es parte del conjunto de los números negativos, pero es un sup, porque es la menor cota superior). Si el sup ES parte del conjunto, es también el máximo.
Consideremos por ejemplo el conjunto de $X = (0,1)$. Entonces $$\sup X=1$$ but $\max X$ no existe.
Por lo general, para un conjunto $X\subset {\mathbb R}$, definimos $x:=\max X$ si $x\in X$ y $$\forall y\in X, y\leq x.$$
Definimos $x:=\sup X$ si $$\forall y\in X, y\leq x$$ y $$\forall\epsilon>0,\quad\exists y\in X, \quad\text{s.t.}\quad y>x-\epsilon.$$
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