Demuéstralo: $ \int_{0}^{1} \ln \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\sin x}}\le \ln 2$

Question

Me propongo demostrar la siguiente desigualdad integral:

$$ \int_{0}^{1} \ln \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\sin x}}\le \ln 2$$

Como tenemos que tratar con una función convexa en este intervalo se me ocurrió considerar el área del trapecio que se puede formar si unificamos los puntos $(0, f(0))$ y $(1, f(1))$ donde la función $f(x) =\ln \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\sin x}}$ pero las cosas son feas incluso si el método en sí no lo es. complicado. Entonces, Estoy buscando algo mejor si es posible.

Answer 1

He aquí una demostración (esperemos) corregida que utiliza la convexidad junto con la regla del trapecio: Puedes reescribir lo que intentas demostrar como $$ \int_{0}^{1} \ln {\frac{1+\cos x}{1-\sin x}}\,dx\le 2\ln 2$$ Sea $f(x) = \ln {\frac{1+\cos x}{1-\sin x}} = \ln(1 + \cos x) - \ln (1 - \sin x)$ . Entonces $$f'(x) = -\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{\cos x}{1 - \sin x}$$ Utilizando la fórmula del semiángulo tangente, esto es lo mismo que $$-\tan(x/2) + \tan(x/2 + \pi/4)$$ Por lo tanto $$f''(x) = -(1/2)\sec^2(x/2) + 1/2\sec^2(x/2 + \pi/4)$$ Desde $\sec$ aumenta en $(0,1/2 + \pi/4)$ vemos que $f''(x) > 0$ . Por tanto, el integrando es convexo. Cuando se aplica a una función convexa, la regla del trapecio siempre da un resultado mayor que la integral. Pero ya con $2$ piezas, la regla del trapecio da aquí $$1/4(\ln(1 + \cos(0)) - \ln(1 - \sin(0)) + 2(\ln(1 + \cos(1/2)) - \ln(1 - \sin(1/2)))$$ $$ +\ln(1 + \cos(1)) - \ln(1 - \sin(1)) )$$ $$= 1.3831395912690787...$$ Esta cifra es ligeramente inferior a $2\ln2 = 1.3862943611198906...$ por lo que la integral original es menor que $\ln 2$ según sea necesario.