Sé que tiene un grupo Conjugacy clases de tamaño 1, 3, 6, 6, 8 y sé que esto coincide con las clases Conjugacy del grupo $S_4$. Pero podría no ser un grupo diferente, con el mismo Congucy clases?
Respuestas
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Creo que, en general, esta pregunta es difícil. A veces la respuesta es negativa (ver Zev Chonoles de respuesta). En el específico caso de ejemplo podemos concluir que el grupo tiene que ser $S_4$.
Los elementos en la clase conjugacy de $8$ elementos centralizadores de la orden de $24/8=3$. Por lo tanto deben ser de orden $3$, y los generadores de su propio centralizadores. Por lo tanto podemos deducir que el grupo, llame a $G$, tiene cuatro Sylow $3$-subgrupos. El grupo actúa sobre el conjunto de estos cuatro grupos. Esto nos da un homomorphism $f:G\to S_4$.
La conjugación de la acción de $G$ en los cuatro Sylow $3$-subgrupos es transitiva por parte del teorema de Sylow. Podemos deducir que la acción es doblemente transitiva. Esto es porque cada Sylow 3-subgrupo de $G$ permutes los otros tres. Por tanto, el grupo $f(G)$ es doblemente un transitiva subgrupo de $S_4$. La única doblemente transitiva subgrupos de $S_4$$S_4$$A_4$. En el primer caso hemos terminado, porque $f$ entonces es un isomorfismo. Así que la afirmación de la siguiente manera, si podemos probar que es imposible $\operatorname{Im} f$ a ser isomorfo a $A_4$. Supongamos por el contrario que este sería el caso. Entonces podríamos deducir que $\ker f$ es de orden dos. Debido a $\ker f$ es normal subgrupo de $G$ esto implica que tanto los elementos de $\ker f$ lo haría en una clase conjugacy por sí mismo. Esto fue claramente no es el caso.
Xenph Yan
Puntos
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Me temo que no sé la respuesta a tu pregunta específica acerca de la $S_4$, pero, en general, conocer el número y el tamaño de las clases conjugacy no es suficiente, porque cualquiera de los dos finito abelian grupos de la misma cardinalidad $n$ ambos tienen $n$ conjugacy clases de tamaño de $1$, pero no deben ser isomorfos. Para un caso explícito, considere la posibilidad de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$.
