Definiciones vagas de ramificado, dividido e inerte en un campo cuadrático

Question

Nuestro profesor definió lo siguiente:

Dejemos que $K=\mathbb Q(\sqrt d)$ sea un campo cuadrático y $p$ un número primo, entonces

(1) $\ p$ se ramifica en $K$ si $\mathcal O_K(p)\cong \mathbb F_p [x](x^2)$
(2) $\ p$ se divide en $K\ \ \ \ \ \ $ si $\mathcal O_K(p)\cong \mathbb F_p[x]^2$
(3) $\ p$ es inerte en $K\ \ \ \ \ \ $ si $\mathcal O_K(p)\cong \mathbb F_{p^2}$

Y declaró:

Dejemos que $K$ y $p$ sea como el anterior. Entonces:

$p$ se ramifica $\iff p$ divide el disco discriminante $(K)$ de $K$
$p$ dividir $\iff p\nmid \text{disc(K)}$ y d es un QR mod p
$p$ es inerte $\iff p\nmid \text{disc(K)}$ y d no es un QR mod p

Para ser sincero, me cuesta un poco entender estas definiciones. Además, no parece que pueda encontrar ninguna fuente útil en línea, que proporcione ejemplos o (por no mencionar) que utilice definiciones similares. Todo lo que puedo encontrar son cosas como "totalmente dividido", "sigue siendo primo en", etc. y un montón de notación diferente.

De ahí mi pregunta, ¿son realmente comunes estas definiciones y hay alguna forma de explicarlas de forma más cercana?

editar:
Por si a alguien le interesa, los siguientes textos, que encontré tras una investigación posterior, me parecieron bastante útiles:

• An Introduction to Number Theory, por G. Everest:
  http://www.amazon.co.uk/dp/1852339179
  En concreto, el capítulo 4.4 El grupo de clases ideales y la sección 4.4.1 Ideales primos

• Los apuntes de las conferencias de Robin Chapman:
  http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/notes/ant.pdf (p. 16-18) http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/notes/ant2.pdf (p. 38-39 y capítulo 5)

Answer 1

Primero déjame decir que tu profesor sólo tiene razón asumiendo que $p$ es un número primo impar .

En mi opinión, esto de introducir el discriminante es realmente confuso, al menos para un campo cuadrático. Permítanme ahora darles la definición habitual (como se encuentra en Neukirch, Marcus) de estos términos y luego proceder a mostrarles cómo son equivalentes a su definición anterior.

Dejemos que $K$ sea un campo numérico algebraico. Elija un primo $p \in \Bbb{Z}$ sabemos que $\mathcal{O}_K$ es un dominio Dedekind y por tanto $(p)$ factores en primos $\mathfrak{p}_1^{e_1}\ldots \mathfrak{p}_n^{e_n}$ en $\mathcal{O}_K$ . Decimos que

1. $p$ es ramificado en $\mathcal{O}_K$ si hay al menos un $j$ para lo cual $e_j > 1$ .

2. Nosotros decimos $p$ es totalmente dividido si el $e_i = 1$ para todos $1 \leq i \leq n$ y $n = [K : \Bbb{Q}]$

3. Nosotros decimos $p$ es inerte si no se divide en absoluto en $\mathcal{O}_K$ .

Así, en el caso de que $K$ es un campo cuadrático, vemos un primo $p$ es ramificado si $(p)$ factores en $\mathfrak{p}^2$ , totalmente dividido si se factoriza como $\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2$ e inerte si se queda igual.

Ahora bien, ¿cómo entra en juego este asunto del discriminante? El discriminante de $\mathcal{O}_K$ cuando $K = \Bbb{Q}(\sqrt{n})$ es $n$ si $n \equiv 1 \mod{4}$ , de lo contrario es $4n$ . Ahora la razón principal por la que digo que traer el discriminante es engañoso es porque el punto clave que $p|n \implies$

$$(p) = (p, \sqrt{n})^2$$

en $\mathcal{O}_K$ se amontona bajo un montón de abstracción ¡! ¿Cómo ves la igualdad anterior? Pues expande el producto de los dos ideales, ¡a ver qué obtienes!

¿Qué pasa con el caso cuando $p \nmid n$ ? Compruebe usted mismo que $p$ se divide como

$$(p) = (p, m + \sqrt{n})(p,m - \sqrt{n})$$

donde $n \equiv m^2 \mod p$ . ¿Qué pasa con el último caso cuando $p \nmid n$ y $n$ no es un residuo cuadrático mod $p$ ? Para ver que $p$ es inerte le sugiero que calcule el cociente $\mathcal{O}_K/(p)$ explícitamente y ver que es un campo (por tanto, dominio integral).