¿Existen dos continuo surjective funciones de $f,g:D \to D$ tal que $f(z) \neq g(z) $ todos los $z \in D$ donde $D$ es el cierre de la unidad de disco?
Respuestas
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Jim Petkus
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Nota: $D$ es ahora conocido por ser el cerrado de la unidad de disco... voy a editar cuando puedo.
Voy a suponer que quieres decir $D$ para el de apertura de la unidad de disco.
Tomar $$ f(z)=z $$ y $$ g(z)=\frac{z+1/2}{1+z/2}=\frac{2z+1}{z+2}. $$
El último es un biholomorphism de $D$ sobre sí mismo.
Y es fácil de comprobar que no tiene ningún punto fijo en $D$.
Mihai Lazar
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Aquí es un ejemplo. Deje $D$ ser el cerrado de la unidad de disco de $\mathbb{C}$ y $D_L:=\{ z \in D | Re(z) \geq 0 \}$, $D_R:=\{ z \in D | Re(z) \leq 0 \}$ ser la mitad derecha y la mitad izquierda de la unidad de disco.
Deje $f_1 : D \rightarrow D_L$ ser un homeomorphism tal que $f_1([-1,1])=[0,1]$ que $f_1$ envía la parte superior (resp. menor) a la mitad del disco de $D$ homeomorphically a la parte superior (resp. inferior) cuarto disco de $D_L$. Definir un homeomorphism $g : D \rightarrow D_R$ en el mismo camino.
Definir $$f_2 : D_L \rightarrow D, z=r e^{i\theta} \mapsto z^2=r^2 e^{i2\theta},$$ $$g_2 : D_R \rightarrow D, z=r e^{i(\pi-\theta)} \mapsto r^2 e^{i(\pi+2\theta)}.$$ Usted debe pensar en la $f_1$ $g_1$ Herradura mapas. Nota: $g_2$ es una herradura mapa compuesto con una simetría (Hacer una foto !).
Ahora defina $f,g : D \rightarrow D$$f = f_2 \circ f_1$$g = g_2 \circ g_1$.
Es obvio que $f$ $g$ son continuos y en. Las funciones de $f$ $g$ está en desacuerdo en todas partes porque :
- $f$ envía la parte superior (resp. menor) a la mitad del disco en la parte superior (resp. menor) a la mitad del disco.
- $g$ envía la parte superior (resp. menor) a la mitad del disco en la parte inferior (resp. superior) a la mitad del disco.
- $f$ envía $[-1,1]$$[0,1]$$f(-1)=0$.
- $g$ envía $[-1,1]$$[-1,0]$$g(1)=0$.
Neal
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Sugerencia: Buscar la clasificación de los elementos de $SL(2;\mathbb{R})$. La respuesta dependerá (pero sólo un poco) si usted está considerando la apertura o cerrado de la unidad de disco.
Además sugerencia: Un elemento de $SL(2;\mathbb{R})$ da una isometría del espacio hiperbólico. (Isometrías son, en particular, continua y surjective.) Espacio hiperbólico puede ser identificado con la unidad de disco. Tome uno de sus mapas a la identidad. Por el otro mapa, que será suficiente para encontrar una isometría del espacio hiperbólico que corrige sin puntos. Aquí es donde la clasificación de los elementos de $SL(2;\mathbb{R})$ es útil.
