El número de los máximos locales de una función

Question

Deje de $z_j$ ($j=1,\dots, k$) $k$ puntos en el plano complejo de los cuales ninguno se encuentra en la recta real. Es siempre cierto que la función $$ F(x)=\sum_{j=1}^k \frac{1}{|x-z_j|^2} $$ tiene más de $k$ los máximos locales en la recta real?

Answer 1

$F(x)=c$ ha para cualquier valor de $c>0$ en más de $2k$ soluciones, que en una forma débil apoya la conjetura de que el enunciado es siempre verdadera.

Answer 2

Si $z_{j}=a_{j}+i\cdot b_{j}$, entonces $\left | x-z_{j} \right |^{2}=(x-a_{j})^{2}+b_{j}^{2}$ y $$F(x)=\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{(x-a_{j})^{2}+b_{j}^{2}}$$ La función $F(x)$ es continua y diferenciable. $${F}'(x)=\sum_{j=1}^{k}\frac{-2(x-a_{j})}{[(x-a_{j})^{2}+b_{j}^{2}]^{2}}=-2\frac{P(x)}{\prod_{l=1}^{k} [(x-a_{l})^{2}+b_{l}^{2}]^{2}}$$ Donde $$P(x)=\sum_{j=1}^{k}(x-a_{j})\prod_{l=1, l\neq j}^{k}[(x-a_{l})^{2}+b_{l}^{2}]^{2}$$ y $grad P(x)=4k-3$ lo que significa que podría haber un máximo de $4k-3$ ceros de $P(x)$ o $F(x)$ $4k-3$ extrema.

En la parte superior de este, si suponemos que el siguiente pedido $$a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant ... \leqslant a_{k}$$ $$x-a_{1} \geqslant x-a_{2} \geqslant ... \geqslant x-a_{k}$$ y $x = a_{1}$ $$0 \geqslant a_{1}-a_{2} \geqslant ... \geqslant a_{1}-a_{k}$$ si $x = a_{k}$ $$a_{k}-a_{1} \geqslant a_{k}-a_{2} \geqslant ... \geqslant a_{k}-a_{k-1} \geqslant 0$$ o, básicamente, ${F}'(a_{1}) \geqslant 0$ y ${F}'(a_{k}) \leqslant 0$ (*)

Además, ${F}'(x)$ es positivo en $(-\infty ,a_{1}]$, mirando a $P(x)$ y teniendo en cuenta que $x \leqslant a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant ... \leqslant a_{k}$, lo ${F}(x)$ es ascendente en este intervalo. ${F}'(x)$ es negativo en $[a_{k},\infty )$, lo ${F}(x)$ es decreciente en ese intervalo de tiempo.

Como resultado, todos los "divertido" que ocurre dentro de $(a_{1},a_{k})$, y de acuerdo a (*) hay al menos un cero para ${F}'(x)$ en este intervalo (o al menos uno de los extremos por $F(x)$).

La parte restante es ordenar a $grad P(x)=4k-3$. Suponiendo que la "oscilación" de la naturaleza (max, min, max, min ...) dentro de $(a_{1},a_{k})$ $F(x)$ y ascendente/descendente de la naturaleza fuera de ese intervalo, el número de maxima debe ser mayor que el número de mínimos por 1. O de $n+1$ - maxima, $n$ - mínimos y $2n + 1 = 4k - 3$ o $2k - 1$ maxima tan lejos ...