Principio de Incertidumbre de Heisenberg: Que la fórmula es correcta?

Question

Algunos sitios web y los libros de texto se refieren a $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$ como la fórmula correcta para el principio de incertidumbre, mientras que otras fuentes de utilizar la fórmula $\Delta x \Delta p \geq \hbar$ .

Este último se utiliza en el libro de texto "Física II para Dummies" (edición alemana) para varios ejemplos y el autor también se deriva que la fórmula, por lo que supongo que esto no es un error de mecanografía.

Este es el mencionado derivación:

$\sin \theta = \frac{\lambda}{\Delta y}$

asumiendo $\theta$ es pequeña:

$\tan \theta = \frac{\lambda}{\Delta y}$

de Broglie ecuación:

$\lambda = \frac{h}{p_x}$

$\Rightarrow \tan \theta \approx \frac{h}{p_x \cdot \Delta y}$

pero también:

$\tan \theta = \frac{\Delta p_y}{p_x}$

igualar $\tan \theta$:

$\frac{h}{p_x \cdot \Delta y} \approx \frac{\Delta p_y}{p_x}$

$\Rightarrow \frac{h}{\Delta y} \approx \Delta p_y \Rightarrow \Delta p_y \Delta y \approx h$

$\Rightarrow \Delta p_y \Delta y \geq \frac{h}{2 \pi}$

$\Rightarrow \Delta p \Delta x \geq \frac{h}{2 \pi}$

Así que: Que es la correcta y por qué?

Answer 1

El más fuerte límite sin pérdida de generalidad es $$ \Delta p\Delta x \ge \frac12 \manejadores, $$ esto siempre es cierto. Mientras que $\Delta p\Delta x \ge \hbar$ menudo puede ser cierto, no siempre es cierto.

El $\frac12$ a menudo se omite, ya que, como se ha mencionado en los comentarios, a menudo sólo la magnitud del lado derecho es importante, y no su valor preciso. También, puede ser omitido por razones de brevedad y simplicidad.

Otra razón es histórica: Heisenberg original de la declaración de su principio de incertidumbre fue una estimación aproximada que omite $\frac12$. Sólo más tarde fue su estimación refinado, con un cálculo formal y el $\frac12$ añadido.

Answer 2

Supongamos $A$ $B$ dos observables (hermitian operadores).

Tomar $$A' = A - \langle A\rangle ,\qquad B' = B - \langle B\rangle $$

Entonces $$V(A) = \langle A'^2\rangle , V(B) = \langle B'^2\rangle $$ donde $V$ es para la varianza.

Supongamos que $[A,B] = iC$ donde $C$ es un hermitian operador. Entonces, usted también ha $[A',B'] = iC$.

El Cauchy-Schwartz desigualdad , se obtiene :

$$\langle A'^2\rangle \langle B'^2\rangle \ge |\langle A'B'\rangle |^2$$

Escrito $$A'B' = (\frac{A'B' + B'A'}{2}) + (\frac{A'B' - B'A'}{2}) = R+i \frac{C}{2}$$ (donde $R = \frac{A'B' + B'A'}{2}$). Esto nos da: $$\langle A'B'\rangle = \langle R\rangle + i \frac{\langle C\rangle }{2}$$

$R$ $C$ son hermitian operadores, por lo $\langle R\rangle$ $\langle C\rangle $ son cantidades reales.

Por lo $$|\langle A'B'\rangle |^2 = |\langle R\rangle |^2 + \large \frac{|\langle C\rangle |^2}{4}$$

Por último : $$\langle A'^2\rangle \langle B'^2\rangle \ge |\langle R\rangle |^2 + \frac{|\langle C\rangle |^2}{4}$$

Que es : $$V(A) V(B) \ge |\langle R\rangle |^2 + \frac{|\langle C\rangle |^2}{4}$$

Por definición de la desviación estándar ($(\Delta X)^2 = V(X)$), se tiene : $$(\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \ge |\langle R\rangle |^2 + \frac{|\langle C\rangle |^2}{4}$$

Así : $$(\Delta A) (\Delta B) \ge \sqrt {|\langle R\rangle |^2 + \frac{|\langle C\rangle |^2}{4}}$$

Así : $$(\Delta A) (\Delta B) \ge \frac{|\langle C\rangle |}{2}$$

Eligiendo $A=X, B=P, C= \hbar ~~Id$, obtenemos :

$$(\Delta X) (\Delta P) \ge \frac{\hbar}{2}$$