Hay un espacio de este tipo. Para cualquier $\mathscr{U}\in\beta\omega\setminus\omega$ podemos empezar con el subespacio $\omega \cup \{\mathscr{U}\}$ $\beta\omega$ & 'engordar' cada punto aislado a una copia de los racionales.
Deje $\mathscr{U}$ libre de ultrafilter en $\omega$. Deje $p$ ser un punto de no $\omega\times \mathbb{Q}$, y deje $X = (\omega\times \mathbb{Q})\cup \{p\}$. Nos topologize $X$ como sigue. Para cada una de las $q\in\mathbb{Q}$ deje $\mathscr{B}(q)$ el conjunto de clopen nbhds de $q$ en la topología usual en $\mathbb{Q}$. Para $\langle n,q \rangle \in \omega\times \mathbb{Q}$ deje $\mathscr{B}(n,q) = \{\{n\}\times B:B \in \mathscr{B}(q)\}$ ser una base local en $\langle n,q\rangle$. Por último, tome $\mathscr{B}(p) = \{U\times \mathbb{Q}:U\in\mathscr{U}\}$ como una base local en $p$. Vamos $$\mathscr{B} = \mathscr{B}(p)\cup \bigcup_{\langle n,q\rangle\in \omega\times \mathbb{Q}}\mathscr{B}(n,q)\;;$$ then $\mathscr{B}$ is a base for a topology $\mathscr{T}$ on $X$, and it's easy to check that $\langle X,\mathscr{T}\rangle$ has no isolated points, is not first countable at $p$, and is regular. Indeed, the members of $\mathscr{B}$ are clopen in $\langle X,\mathscr{T}\rangle$, so $\langle X,\mathscr{T}\rangle$ es cero-dimensional y, por tanto, completamente regular.
La misma idea de 'engorde' puntos aislados aislados copias de $\mathbb{Q}$ puede ser aplicado a la Arens-Fort espacio. Empezar con $Y={\langle 0,0\rangle}\cup (\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+$), donde cada punto de $\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+$ es aislado, y un conjunto de $V$ contiene $\langle 0,0\rangle$ es abrir el fib $\{m\in\mathbb{Z}^+:V\setminus(\{m\}\times\mathbb{Z}^+)\text{ is infinite}\}$ es finito (es decir, $V$ contiene un número finito de puntos de todos, pero un número finito de "columnas" de $\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+$).
Para obtener el espacio que desee $X$, coloque primero de cada $\langle m,n\rangle \in \mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+$ por una copia, $Q(m,n)$ $\mathbb{Q}$ con su habitual topología. Si $V$ es una nbhd de $\langle 0,0\rangle$$Y$, vamos $$V^* = \{\langle 0,0\rangle\}\cup \bigcup_{\langle m,n\rangle\in V\setminus\{\langle 0,0\rangle\}} Q(m,n),$$ and take the family of such sets $V^*$ as a local base at $\langle 0,0\rangle$. The resulting space is countable, has no isolated points, is not first countable at $\langle 0,0\rangle$, y tiene un clopen base.
