Podría alguien explicar el concepto de un conjunto de "abrir relativa" a otro juego?

Question

Mi profesor de ordenación de desnatada a través de este concepto, que sólo la definición y un ejemplo (es decir, $(0,1) \subset \mathbb{R}$ vs $(0,1) \subset \mathbb{R}^2$ donde $(0,1)$ es abierto relativo a $\mathbb{R}$ pero no $\mathbb{R}^2$), pero no una verdadera explicación. Entiendo, más o menos, este ejemplo en particular, pero estoy teniendo problemas para entender esto de manera más general.

Puede alguien por favor intuitivamente explicar este concepto en el contexto de un espacio métrico? (Si importa, estamos utilizando Rudin los Principios De Análisis Matemático).

Answer 1

Con el fin de saber qué es abierto relativo a" significa que usted tiene que saber primero qué es "abierto" significa:

Un subconjunto S de un espacio métrico X se llama abierto si, para cada punto p de S, no es un número real positivo $\epsilon$ de manera tal que cada punto X de distancia de menos de $\epsilon$ de p se encuentra en S.

Ahora, si estamos trabajando en algunos de espacio métrico y considerar un subconjunto de Una de ese espacio, usted puede, si lo desea, hacer caso omiso del resto del espacio y pensar de Una como un espacio métrico en sí mismo. La noción de "abrir relativa a Un" es lo que usted consigue cuando usted se da cuenta, mirando a la definición anterior, que algunos subconjuntos de Una que no están abiertos los subconjuntos del espacio más grande todavía puede ser abierto subconjuntos de Un.

Por ejemplo, supongamos que usted mira en el intervalo I=[0,1] como un espacio métrico en sí mismo, y el desprecio del resto de la línea real. Entonces el subconjunto S=(0.5,1] puede parecer en un principio a no ser un conjunto abierto, debido a que usted piensa, "Hey, hay puntos arbitrariamente cercanos a 1 que no están en S, por lo que el 1 es en realidad un límite y punto!" Bueno, sí..., salvo que ninguno de los que arbitrariamente cerca de puntos son en realidad en el yo, por lo que desde el punto de vista del yo como un espacio en sí mismo, que no existen. Cada punto en que yo lo suficientemente cerca de la 1 también está en S, por lo que si queremos trabajar yo solo, tenemos que admitir que S es abierto.

La moraleja de esta historia es que los conjuntos no están intrínsecamente abierto: la definición de qué depende espacio métrico son considerados como los subconjuntos de. Si usted está hablando sólo de un espacio es inofensivo para simplemente escribir "abierta", pero de lo contrario puede que tenga que ser más específico. Si usted está considerando tanto $\mathbb{R}$ y yo, por ejemplo, escritura "(0.5,1] es abierto" es ambiguo. Así que en lugar de escribir "(0.5,1]" es abierto relativo a me."

Answer 2

Decimos que un conjunto a $S$ es abierto relativo a $A$ si para todas las $x\in S$, podemos encontrar una bola abierta (open con la topología/métrica de $A$) centrado en $x$ que está contenida en $S$, es decir no existe $\epsilon>0$ tal que $B(x,\epsilon)\subset S$.

Por su ejemplo, tome $(0,1)$$\mathbb{R}$. El abierto de bolas en $\mathbb{R}$, con métrico estándar son los intervalos abiertos. Tomar cualquier punto en $(0,1)$, siempre se puede encontrar $\epsilon$ tal que $0<|x-\epsilon|<1$, debido a la densidad de $\mathbb{R}$.

Ahora toma el mismo subconjunto en $\mathbb{R}^2$. Abierto las bolas son ahora el abierto de los discos de la forma $$ (x-a)^2+(y-b)^2<r^2, $$ que es, un disco abierto de radio $r$ centrada en $(a,b)$. Ahora para cualquier punto de $(x,y)$$(0,1)$, un segmento de línea, y para cualquier $\epsilon$, el open de bola de $B(x,\epsilon)$ va a dejar el segmento de línea. A ver, cualquier punto en $(0,1)$ será de la forma $(x,0)$ (o $(0,y)$), y por lo que un disco centrado en este tipo de punto es obligado a tener un $y$ de coordenadas (o $x$) otros $0$, dejando que sea imposible para $B$ $(0,1)$ totalmente.

Answer 3

Deje $X$ denotar un espacio topológico. Deje $A$ denotar un subconjunto de a $X$. El conjunto $B\subset A$ es abierto en $A$ si $B= A \cap U$ para un conjunto abierto en $X$. Al $X ={\mathbb R}$ $B$ es una unión de intervalos abiertos cruzaba con $A$. Por ejemplo, supongamos que $A$ indica los números racionales entre $0$$1$. El abierto de intervalo en $A$ es un intervalo abierto de racionales. Si $A$ es un intervalo cerrado, entonces un intervalo abierto está abierto en el interior, o es la mitad de un intervalo abierto en $A$. Puedo especificar intervalos en estos ejemplos, debido a un conjunto abierto de reales es una unión de intervalos abiertos.

Answer 4

Si usted tiene un espacio vectorial topológico $V$ y conjuntos de $U \subset T \subset V$ llamar a $U$ abierto relativo a $T$ fib $U$ es abierto en la topología de subespacio de $T$. Dicho de otra manera, $U$ es abierto relativo a $T$ si existe un conjunto abierto $O \subset V$$U = O \cap T$.

La topología de subespacio es lo que se obtiene si restringir la topología de $V$$T$, es decir, el abrir conjuntos de $T$ con la topología de subespacio se $\mathcal{O}_T = \{O \cap T : O \text{ open as subset of } $V$\}$. Si usted está tratando con un espacio métrico, es decir, un espacio vectorial topológico cuya topología es inducida por la métrica, se obtiene la misma topología si restringe la métrica a $T$, y el uso que la restricción de la métrica para definir una topología en $T$.

En tu ejemplo, $U := (0,1)\times\{0\}$ es abierto relativo a $T := \mathbb{R}\times\{0\}$, debido a $U = ((0,1)\times(0,1)) \cap T$ $(0,1)\times(0,1)$ está abierto en $\mathbb{R}^2$. No está abierto como un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$ porque no contiene un $\epsilon$-Bola alrededor de todos sus miembros. La forma en que escribió ejemplo (he.e, $(0,1)$ en lugar de $(0,1)\times\{0\}$), por cierto, no tiene mucho sentido porque $(0,1)$ ni siquiera es un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$.