Búsqueda de $\lim\limits_{x\to0}x^2\ln (x)$ sin L'Hospital

Question

Estoy preparando un resit para el cálculo y me encontré con un problema de límite.

El problema es el siguiente: $\lim\limits_{x\to0}x^2\ln (x)$

No estoy autorizado para el uso de L'Hospital.

Por favor me ayude, estoy estancado durante casi una hora ahora.

Answer 1

Tenga en cuenta que más bien deberíamos considerar la posibilidad de $$\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x.$$ Sustituto $x$ $e^{-t}$ (esto es posible por $x>0$) para obtener $$\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=\lim_{t\to+\infty}(-t)(e^{-t})^2=\lim_{t\to+\infty}\frac{-t}{(e^t)^2}$$ y el uso de nuestros favoritos de la estimación de la función exponencial: $e^t\ge 1+t$, para obtener $$\left|\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x\right|\le \lim_{t\to+\infty}\left|\frac{-t}{(e^t)^2}\right|=\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{(e^t)^2}\le \lim_{t\to+\infty}\frac{t}{(t+1)^2}=0.$$

Answer 2

Sándwich teorema, utilizando el hecho de $|\ln(x)| < \frac{1}{x}$, cuando se $x$ cerca de $0$, tenemos

$$|x^2\ln (x)| < x.$$

Answer 3

Sólo para uso de la FTC: para $0<x\leq 1$ $$0<-x\ln x=x\int_x^1\frac{1}{t}dt=\int_x^1\frac{x}{t}dt\leq \int_x^11dt=1-x\leq 1\Rightarrow 0<-x^2\ln x\leq x.$$ Hmm... eso es Mhenni Benghorbal del argumento. Pero desde que demostrar la desigualdad, supongo que lo voy a dejar.

Answer 4

set $\log x=t$, por lo que el límite es $$\lim_{t \to \infty}e^{2}t <\lim_{t \to -\infty}e^{2t +t}=0$$ Claramente $te^{2t}<0$$t<0$. Al mismo tiempo, si se toma la derivada de $te^{2t}$ obtener $e^{2t}(2t^2+1)$, que es siempre no negativo, por lo tanto el límite de la función original es 0.