Construcción de un campo de extensión de Galois con grupo de Galois $S_n$

Question

Construcción de un campo de extensión de Galois $E$ con $Gal(E/F)= S_n$

¿Cómo se construye uno?

Answer 1

Demostraremos que existe una extensión de Galois finita $K/\mathbb{Q}$ tal que $S_n$ = $Gal(K/\mathbb{Q})$ para cada número entero $n \geq 1$ . Seguiremos principalmente el libro de van der Waerden sobre el álgebra. También se puede ver su demostración en la nota del curso de Milne sobre la teoría de Galois. Sin embargo, Milne se remite a su libro para un teorema crucial( Propuesta 1 más adelante) cuya demostración utiliza polinomios multivariados. En su lugar, utilizaremos el álgebra conmutativa elemental para demostrar este teorema.

Notas

Denotamos por |S| el número de elementos de un conjunto finito S.

Dejemos que $K$ sea un campo. Denotamos por $K^*$ el grupo multiplicativo de $K$ .

Dejemos que $\tau$ = $(i_1, ..., i_m)$ sea un ciclo en $S_n$ . El conjunto { $i_1, ..., i_m$ } se llama el soporte de $\tau$ . Sea $\sigma \in S_n$ . Sea $\sigma$ = $\tau_1\dots\tau_r$ donde cada $\tau_i$ es un ciclo de longitud $m_i$ y tienen soportes mutuamente disjuntos. Entonces decimos $\sigma$ es del tipo [ $m_1, ..., m_r$ ].

Definición 1 Dejemos que $F$ sea un campo. Sea $f(X)$ sea un polinomio no constante de grado n en $F[X]$ . Sea $K/F$ sea un campo de división de $f(X)$ . Supongamos que $f(X)$ tiene distintos $n$ raíces en $K$ . Entonces $f(X)$ se llama separable . Dado que los campos de división de $f(X)$ en $F$ son isomorfos entre sí, esta definición no depende de la elección de un campo de división de $f(X)$ .

Definición 2 Dejemos que $F$ sea un campo finito. Sea $|F| = q$ . Sea $K/F$ sea una extensión finita de $F$ . Sea $\sigma$ sea un mapa: $K \rightarrow K$ definido por $\sigma(x) = x^q$ para cada $x \in K$ . $\sigma$ es un automorfismo de $K/F$ . Esto se llama el automorfismo de Frobenius de $K/F$ .

Definición 3 Dejemos que $G$ sea un grupo de permutación sobre un conjunto $X$ . Sea $G'$ sea un grupo de permutación sobre un conjunto $X'$ . Sea $f:X \rightarrow X'$ sea un mapa biyectivo. Sea $\lambda:G \rightarrow G'$ sea un isomofismo. Supongamos que $f(gx) = \lambda(g).f(x)$ para cualquier $g \in G$ y cualquier $x \in X$ . Entonces se dice que G y G' son isomorfos como grupos de permutación.

Lema 1 Dejemos que $F$ sea un campo. Sea $f(X)$ sea un polinomio separable de grado $n$ en $F[X]$ . Sea $K/F$ sea un campo de división de $f(X)$ . Sea $G = Gal(K/F)$ . Sea $S$ sea el conjunto de raíces de $f(X)$ en K. Entonces $G$ actúa transitoriamente sobre $S$ si y sólo si $f(X)$ es irreducible en $F[X]$ .

Prueba: Si $f(X)$ es irreducible, claramente $G$ actúa transitoriamente sobre $S$ .

Por el contrario, supongamos que $f(X)$ no es irreducible. Sea $f(X) = g(X)h(X)$ , donde $g$ y $h$ son polinomios no constantes en $F[X]$ . Sea $T$ sea el conjunto de raíces de $g(X)$ en $K$ . Desde $G$ actúa sobre $T$ y $S \neq T$ , $S$ no es transitivo. QED

Lema 2 Dejemos que $F$ sea un campo. Sea $f(X)$ sea un polinomio separable en F[X]. Sea $f(X) = f_1(X)...f_r(X)$ , donde $f_1(X), ..., f_r(X)$ son polinomios irreducibles distintos en $F[X]$ . Sea $K/F$ sea un campo de división de $f(X)$ . Sea $G = Gal(K/F)$ . Sea $S$ sea el conjunto de raíces de $f(X)$ en $K$ . Sea $S_i$ sea el conjunto de raíces de $f_i(X)$ en $K$ para cada $i$ . Entonces $S = \cup S_i$ es una unión disjunta y cada $S_i$ es un $G$ -órbita.

Prueba: Se deduce inmediatamente del lema 1.

Lema 3 Dejemos que $F$ sea un campo finito. Sea $K/F$ sea una extensión finita de $F$ . Entonces $K/F$ es una extensión de Galois y $Gal(K/F)$ es un grupo cíclico generado por el automorfismo de Frobenius $\sigma$ .

Prueba de ello: Sea $|F| = q$ . Sea $n = (K : F)$ . Desde $|K^*| = q^n - 1$ , $x^{q^n - 1} = 1$ para cada $x \in K^*$ . Por lo tanto, $x^{q^n} = x$ para cada $x \in K$ . Por lo tanto, $\sigma^n = 1$ .

Sea m un número entero tal que $1 \leq m < n$ . Dado que el polinomio $X^{q^m} - X$ tiene como máximo $q^m$ raíces en $K$ , $\sigma^m \neq 1$ . Por lo tanto, $\sigma$ genera un subgrupo $G$ de orden n de $Aut(K/F)$ . Desde $n = (K : F)$ , $G = Aut(K/F)$ . Desde $|Aut(K/F)| = n$ , $K/F$ es una extensión de Galois. QED

Lema 4 Dejemos que $F$ sea un campo finito. Sea $f(X)$ sea un polinomio irreducible de grado $n$ en $F[X]$ . Sea $K/F$ sea un campo de división de $f(X)$ . Sea $\sigma$ sea el automorfismo de Frobenius de $K/F$ . Entonces $Gal(K/F)$ es un grupo cíclico de orden $n$ generado por $\sigma$ .

Prueba de ello: Sea $\alpha$ sea una raíz de $f(X)$ en $K$ . Por el lema 3, $F(\alpha)/F$ es una extensión de Galois. Por lo tanto, $K = F(\alpha)/F$
Por el lema 3, $Gal(F(\alpha)/F)$ es un grupo cíclico de orden $n$ generado por $\sigma$ . QED

Lema 5 Dejemos que $F$ sea un campo finito. Sea $f(X)$ sea un polinomio irreducible de grado $n$ en $F[X]$ . Sea $K/F$ sea un campo de división de $f(X)$ . Sea $G = Gal(K/F)$ . Sea $\sigma$ sea el automorfismo de Frobenius de $K/F$ . Sea $S$ sea el conjunto de raíces de $f(X)$ . Consideramos que $G$ como grupo de permutación en $S$ . Entonces $\sigma$ es un $n$ -ciclo.

Prueba: Se deduce inmediatamente del lema 4.

Lema 6 Dejemos que $F$ sea un campo finito. Sea $f(X)$ sea un polinomio separable en F[X]. Sea $f(X) = f_1(X)...f_r(X)$ , donde $f_1(X), ..., f_r(X)$ son polinomios irreducibles distintos en $F[X]$ . Sea $m_i$ = deg $f_i(X)$ para cada $i$ . Sea $K/F$ sea un campo de división de $f(X)$ . Sea $G = Gal(K/F)$ . Sea $\sigma$ sea el automorfismo de Frobenius de $K/F$ . Sea $S$ sea el conjunto de raíces de $f(X)$ . Consideramos que $G$ como grupo de permutación en $S$ . Entonces $\sigma$ es una permutación de tipo $[m_1, ..., m_r]$ .

Prueba: Se deduce inmediatamente del lema 2, del lema 3 y del lema 5.

Lema 7 $S_n$ es generado por $(k, n)、k = 1、．．．、n - 1$ .

Prueba de ello: Sea $(a, b)$ sea una transposición en { $1, ..., n$ }. Si $a \neq n$ y $b \neq n$ entonces $(a, b) = (a, n)(b, n)(a, n)$ . Desde $S_n$ es generado por transposiciones, hemos terminado. QED

Lema 8 Dejemos que $G$ sea un grupo de permutación transitiva sobre un conjunto finito $X$ . Sea $n = |X|$ . Supongamos que $G$ contiene una transposición y una $(n-1)$ -ciclo. Entonces $G$ es un grupo simétrico sobre X.

La prueba: Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $X$ = { $1, ..., n$ } y $G$ contiene un ciclo $\tau$ = $(1, ..., n-1)$ y transponer $(i, j)$ . Desde $G$ actúa transitoriamente sobre $X$ existe $\sigma \in G$ tal que $\sigma(j)$ = $n$ . Sea $k$ = $\sigma(i)$ . Entonces $\sigma(i, j)\sigma^{-1}$ = $(k, n) \in G$ . Tomando conjugados de $(k, n)$ por los poderes de $\tau$ obtenemos $(m, n), m = 1, ..., n - 1$ . Por lo tanto, por el lema 7, $G = S_n$ . QED

Lema 9 Dejemos que $F$ sea un campo finito. Sea $n \geq 1$ sea un número entero. Entonces existe un polinomio irreducible de grado $n$ en $F[X]$ .

Prueba de ello: Sea $|F| = q$ . Sea $K/F$ sea un campo de división del polinomio $X^{q^n} - X$ en $F[X]$ . Sea $S$ sea el conjunto de raíces de $X^{q^n} - X$ en $K$ . Es fácil ver que $S$ es un subcampo de $K$ que contiene $F$ . Por lo tanto, $S = K$ . Desde $X^{q^n} - X$ es separable, $|S| = q^n$ . Por lo tanto, $(K : F) = n$ . Desde $K^*$ es un grupo cíclico, $K^*$ tiene un generador $\alpha$ . Sea $f(X)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F$ . Desde $K = F(\alpha)$ El grado de $f(X)$ es $n$ . QED

Lema 10 Dejemos que $f(X) \in \mathbb{Z}[X]$ sea un polinomio mónico. Sea $p$ sea un número primo. Supongamos que $f(X)$ mod $p$ es separable en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ . Entonces $f(X)$ es separable en $\mathbb{Q}$ .

Prueba: Supongamos que $f(X)$ no es separable en $\mathbb{Q}$ . Desde $\mathbb{Q}$ es perfecto, existe un irreducible mónico $g(X) \in \mathbb{Z}[X]$ tal que $f(X)$ es divisible por $g(X)^2$ . Entonces $f(X)$ (mod $p$ ) es divisible por $g(X)^2$ (mod $p$ ). Esto es una contradicción. QED

Propuesta 1 Dejemos que $A$ sea un dominio integralmente cerrado y que $P$ sea un ideal primo de $A$ . Sea $K$ sea el campo de fracciones de A. Sea $\tilde{K}$ sea el campo de fracciones de $A/P$ . Sea $f(X) ∈ A[X]$ sea un polinomio mónico sin raíces múltiples. Sea $\tilde{f}(X) \in (A/P)[X]$ sea la reducción de $f(X)$ mod $P$ . Supongamos que $\tilde{f}(X)$ también es sin raíces múltiples. Sea $L$ sea el campo de división de $f(X)$ en $K$ . Sea $G$ sea el grupo de Galois de $L/K$ . Sea S el conjunto de raíces de $f(X)$ en $L$ . Consideramos que $G$ como grupo de permutación en $S$ . Sea $\tilde{L}$ sea el campo de división de $\tilde{f}(X)$ en $\tilde{K}$ . Sea $\tilde{G}$ sea el grupo de Galois de $\tilde{L}/\tilde{K}$ . Sea $\tilde{S}$ sea el conjunto de raíces de $\tilde{f}(X)$ en $\tilde{L}$ . Consideramos que $\tilde{G}$ como grupo de permutación en $\tilde{S}$ .

Entonces existe un subgrupo $H$ de $G$ tal que $H$ y $\tilde{G}$ son isomorfos como grupos de permutación.

Prueba: Ver mi respuesta aquí .

Corolario Dejemos que $f(X) \in \mathbb{Z}[X]$ sea un polinomio mónico de grado $m$ . Sea p un número primo. Supongamos que $f(X)$ mod $p$ es separable en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ . Supongamos que $f \equiv f_1...f_r$ (mod $p$ ), donde cada $f_i$ es mónico e irreducible de grado $m_i$ en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ . Sea $K/\mathbb{Q}$ sea un campo de división de $f(X)$ . Sea $M$ sea el conjunto de raíces de $f(X)$ . $G = Gal(K/\mathbb{Q})$ puede considerarse como un grupo de permutación en $M$ . Entonces $G$ contiene un elemento de tipo [ $m_1, ..., m_r$ ].

Prueba: Por el lema 10, $f(X)$ es separable en $\mathbb{Q}[X]$ . Sea $F_p$ = $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ . Sea $\tilde{f}(X) \in F_p[X]$ sea la reducción de $f(X)$ mod $p$ . Sea $\tilde{K}/F_p$ sea un campo de división de $\tilde{f}(X)$ . Sea $\tilde{G}$ sea el grupo de Galois de $\tilde{K}/F_p$ . Sea $\tau$ sea el automorfismo de Frobenius de $\tilde{K}/F_p$ . Sea $\tilde{M}$ sea el conjunto de raíces de $\tilde{f}(X)$ . Consideramos que $\tilde{G}$ como grupo de permutación en $\tilde{M}$ . Por el lema 6, $\tau$ es una permutación de tipo $[m_1, ..., m_r]$ . Por lo tanto, la afirmación se desprende de la Proposición 1. QED

Teorema Existe una extensión de Galois finita $K/\mathbb{Q}$ tal que $S_n$ = $Gal(K/\mathbb{Q})$ para cada número entero $n \geq 1$ .

Prueba (van der Waerden): Por el lema 9, podemos encontrar los siguientes polinomios irreducibles.

Dejemos que $f_1$ sea un polinomio irreducible mónico de grado $n$ en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ .

Dejemos que $g_0$ sea un polinomio mónico de grado 1 en $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[X]$ . Sea $g_1$ sea un polinomio irreducible mónico de grado $n - 1$ en $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[X]$ . Sea $f_2 = g_0g_1$ . Si $n - 1 = 1$ elegimos $g_1$ tal que $g_0 \ne g_1$ . Por lo tanto, $f_2$ es separable.

Dejemos que $h_0$ sea un polinomio irreducible mónico de grado 2 en $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]$ . Si $n - 2$ es impar, Deja $h_1$ sea un polinomio irreducible mónico de grado $n - 2$ en $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]$ . Sea $f_3 = h_0h_1$ . Desde $h_0 \neq h_1$ , $f_3$ es separable.

Si $n - 2$ está en paz, $n - 2 = 1 + a$ para algún entero impar $a$ . Sea $h_1$ y $h_2$ sean polinomios irreducibles mónicos de grado $1$ y $a$ respectivamente en $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]$ . Sea $f_3 = h_0h_1h_2$ . Si a = 1, elegimos $h_2$ tal que $h_1 \ne h_2$ . Por lo tanto, $f_3$ es separable.

Dejemos que $f = -15f_1 + 10f_2 + 6f_3$ . Dado que cada uno de $f_1, f_2, f_3$ es una mónica de grado $n$ f es una mónica de grado $n$ .

Entonces,

$f \equiv f_1$ (mod 2)

$f \equiv f_2$ (mod 3)

$f \equiv f_3$ (mod 5)

Desde $f \equiv f_1$ (mod 2), $f$ es irreducible. Sea $K/\mathbb{Q}$ sea el campo de división de $f$ . Sea $G = Gal(K/\mathbb{Q})$ . Sea $M$ sea el conjunto de raíces en $K$ . Consideramos que $G$ como grupo de permutación en $M$ .

Desde $f$ es irreducible, $G$ actúa transitoriamente sobre $M$ .

Desde $f \equiv f_2$ (mod 3), $G$ contiene un $(n-1)$ -ciclo por el Corolario de la Proposición 1.

Del mismo modo, ya que $f \equiv f_3$ (mod 5), $G$ contiene una permutación $\tau$ del tipo [ $2, a$ ] o [ $2, 1, a$ ], donde $a$ es impar. Entonces $\tau^a$ es una transposición. Por lo tanto, $G$ contiene una transposición.

Por lo tanto, $G$ es un grupo simétrico en $M$ por el lema 8. QED

Answer 2

No hay una solución general para su pregunta. Depende del campo base $F$ . Demostraré que su problema se resuelve afirmativamente cuando $F$ es un campo de funciones racionales sobre cualquier campo.

Dejemos que $k$ sea un campo. Sea $K$ = $k(X_1, ..., X_n)$ sea el campo de las funciones racionales sobre k. Cada elemento de $S_n$ actúa sobre $K$ como $k$ -automorfismo. Por lo tanto, $S_n$ puede considerarse como un subgrupo de Aut( $K/k$ ). Sea $F$ sea el campo fijo por $S_n$ . Por el teorema de Artin, $K/F$ es una extensión de Galois y su grupo de Galois es $S_n$ . Sea $s_1, ..., s_n$ sean las funciones simétricas elementales de $X_1, ..., X_n$ . Entonces $F = k(s_1, ..., s_n)$ . Se puede demostrar fácilmente que $s_1, ..., s_n$ son algebraicamente independientes sobre $k$ . Por lo tanto, $F$ puede considerarse como el campo de las funciones racionales de $n$ variables.

Por lo tanto, obtenemos la siguiente proposición.

Propuesta Dejemos que $k$ sea un campo. Sea $F = k(x_1, ..., x_n)$ sea el campo de las funciones racionales de $n$ variables sobre $k$ . Existe una extensión de Galois $E$ de $F$ tal que $S_n = Gal(E/F)$ .