La siguiente prueba hace uso de la abundante dependiente de la elección, pero no más. Esta es la línea con el comentario de George Lowther.
Un medibles partición $\Pi$ es $\epsilon$-partición si cada célula tiene $\mu$-medir menos de $\epsilon$ y hay sólo un número finito de celdas.
La prueba de la siguiente lema fue inspirado por una respuesta por Brian M. Scott a una de mis preguntas.
Lema: Para cada una de las $\epsilon>0$, hay un $\epsilon$-partición de $A$.
Prueba: Supongamos $l$ ser el infimum sobre todas las $\epsilon>0$ que $\epsilon$-partición de $A$ existe. Existe una secuencia $(\Pi_n)$ de las particiones, tal que para cada $n$, $\Pi_n$ es una $l+1/n$-partición. Mediante la sustitución de $\Pi_n$$\bigwedge_{m=1}^n\Pi_m$, podemos tomar $(\Pi_n)$ a tienen la propiedad de que $\Pi_{n+1}$ es un refinamiento de la $\Pi_n$ todos los $n$. También, podemos tomar $\Pi_1$$\{A\}$. El conjunto $\mathcal{T}=\bigcup_n\Pi_n$ es un árbol cuando es ordenado por $\supseteq$. Hay una cadena de $\mathcal{C}$ $\mathcal{T}$ tal que $\inf\{\mu(C):C\in\mathcal{C}\}=l$. La idea es tomar $C_1=A$, $C_2$ para ser un celular en $\Pi_2$ de manera tal que el infimum sobre todas las $\epsilon>0$ que $\epsilon$-partición de $C_2$ existe es $l$. Continuar de esta manera, y nosotros el deseado de la cadena de $\mathcal{C}=\{C_1,C_2,\ldots\}$. Deje $C^1=\bigcap_n C_n$. A continuación,$\mu(C)=l$. Ya que podría romper $C^1$ en conjuntos de una menor medida, por nonatomicity, $l=\mu(C^1)<\mu(A)$.
Ahora repita este enfoque para encontrar un conjunto medible $C^2\subseteq A\backslash C^1$ tal que $\mu(C^2)$ es igual a la infimum sobre todas las $\epsilon>0$ que $\epsilon$-partición de $A\backslash C_1$ existe. Puesto que es más fácil encontrar una $\epsilon$-partición de un conjunto más pequeño, tenemos $\mu(C^2)\leq\mu(C^1)$. Continuar de esta manera para obtener la secuencia de $C^1,C^2,\ldots$. Desde $\mu(A)<\infty$, debe haber algún índice $n$ tal que $\mu(C^{n+1})<\mu(C^n)=l$ y tomamos $n$ a ser el primero de ese índice. Así que hay una medibles partición $\Pi$ $A\backslash\bigcup_{m=1}^{n-1}C^m$ en un número finito de conjuntos de medir menos de $l$. Dividir cada una de las $C^m$ $m\leq n$ en dos conjuntos medibles de una menor medida,$C^m_1$$C^m_2$. A continuación, $\Pi\cup\{C^m_i:m\leq n, i=1,2\}$ es una partición de a $A$ en un número finito de conjuntos medibles de medir menos de $l$, que no puede ser. $\square$
El principal resultado es ahora fácil de probar.
Teorema: Vamos a $A$ ser un apreciable conjunto con $\mu(A)>0$$0<\alpha<\mu(A)$. Entonces existe un conjunto medible $B\subseteq A$$\mu(B)=\alpha$.
Prueba: tomando finito uniones de las células en un $\epsilon$-partición con $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, se puede encontrar $B_1\subseteq A$$\alpha-1/2<\mu(B_1)<\alpha$. Dado que el $B_1,\ldots, B_n$ ya están construidas, podemos encontrar algunos de los $B_{n+1}\subseteq A\backslash\bigcup_{m=1}^n B_n$$\alpha-1/2^{n+1}<\sum_{m=1}^n \mu(B_m) + \mu(B_{n+1})<\alpha$. Claramente podemos tomar $B=\bigcup_n B_n$. $\square$
El único requisito para la aplicación de esta prueba a medida infinita espacios es que cada vez que $\mu(A)=\infty$ $r$ es un número, existe un conjunto medible $A'\subseteq A$$r<\mu(A')<\infty$. Este es el caso, por ejemplo, cuando la medida es $\sigma$-finito.
