Es $n^7 - 77$ cada vez un número Fibonacci?

Question

Como la pregunta del título sugiere, es $n^7 - 77$ cada vez un número Fibonacci, donde $n$ es un número entero?

Answer 1

La secuencia de fibonacci va como sigue:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} F_n &1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144&233&377&610&987\\ F_n\pmod{29}&1&1&2&3&5&8&13&21&5 &26&2&28&1&0&1&1\end{array}$

Está claro que el ciclo se repita para $F_n\pmod{29}$ como hemos llegado de nuevo a un punto donde es dos en una fila.

Así, el conjunto de posibles valores de modulo $29$ que un número fibonacci puede ser es $\{0,1,2,3,5,8,13,21,26,28\}$

Por otro lado, $n^7\pmod{29}$ se $0,1,12,17,28$ por fermat poco teorema.

Por lo tanto, $n^7-77$ sólo puede ser uno de $\{9,10,11,22,27\}$

Vemos que el conjunto de posibles valores de $n^7-77\pmod{29}$ no se cruza con el conjunto de posibles valores de $F_n\pmod{29}$, por lo que no existen soluciones.