¿Debo utilizar una fdc binomial o una fdc normal al lanzar las monedas?

Question

Hay que comprobar la equidad de una moneda. Tras 50 lanzamientos salen 30 caras. Suponiendo que la moneda es justa, ¿cuál es la probabilidad de que salgan al menos 30 caras en 50 lanzamientos?

La forma correcta de hacer este problema, según mi profesor, es hacer

normalcdf(min = .6, max = , p = .5,  = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

Sin embargo, tomé una función de distribución acumulativa binomial así

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

Creo que se cumplen los criterios de una distribución binomial: los sucesos individuales son independientes, sólo hay dos resultados posibles (cara y cruz), la probabilidad es constante para la pregunta (0,5) y el número de ensayos se fija en 50. Sin embargo, es evidente que los dos métodos dan respuestas diferentes, y una simulación admite mi respuesta (al menos las pocas veces que lo ejecuté; obviamente, no puedo garantizar que tú obtengas los mismos resultados).

Se equivoca mi profesor al suponer que una curva de distribución Normal sería también una forma válida de hacer este problema (en ningún momento se dice que la distribución sea Normal, sino n*p y n*(1-p) son ambas mayores que 10), o ¿he entendido mal algo sobre las distribuciones binomiales?

Answer 1

Utilizando la PDF binomial, no la CDF, la respuesta final es el 4,2% de posibilidades de obtener 30/50 cabezas.

Answer 2

He aquí una ilustración de las respuestas de whuber y onestop.

En rojo la distribución binomial $\mathcal Bin(50,0.5)$ , en negro la densidad de la aproximación normal $\mathcal N(25, 12.5)$ y en azul la superficie correspondiente a $\mathbb P(Y > 29.5)$ para $Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$ .

La altura de una barra roja correspondiente a $\mathbb P(X=k)$ para $X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$ está bien aproximado por $\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$ . Para obtener una buena aproximación de $\mathbb P(X \ge 30)$ , es necesario utilizar $\mathbb P(Y>29.5)$ .

(editar) Esto es $$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$$ (obtenido en R por 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5)) ) mientras que $$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$$ la aproximación es correcta.

Esto se llama corrección de continuidad . Permite calcular incluso "probabilidades puntuales" como $\mathbb P(X=22)$ : $$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$$

Answer 3

Considera esto. En la distribución binomial discreta tienes probabilidades reales para los números individuales. En la normal continua ese no es el caso, necesitas un rango de valores. Así que... si fueras a aproximar la probabilidad de un valor individual, digamos X, de la binomial con la normal ¿cómo lo harías? Mira un histograma de probabilidad de la distribución binomial con la curva normal colocada sobre ella. Tendrías que seleccionar realmente de X ± 0,5 para capturar algo similar a lo que es la probabilidad binomial de X con la aproximación normal.

Ahora extiéndelo a cuando selecciones una cola de la distribución. Cuando utilizas el método binomial estás seleccionando la probabilidad de todo el valor (30 en tu caso) más todo lo que sea superior. Por lo tanto, cuando haces el continuo tienes que asegurarte de capturar eso y seleccionar 0,5 menos también, así que el corte en la distribución continua es 29,5.

Answer 4

La distribución normal da una mayor aproximación a la binomial si se utiliza una corrección de continuidad . Usando esto para su ejemplo, obtengo 0,1015. Como se trata de una tarea, te dejo que completes los detalles.