Pregunta de teoría de conjuntos simple

Question

Estoy empezando a aprender Teoría de Conjuntos y estoy atascado en una pregunta:
Demuestre que las relaciones $$(A \cup C)\subset(A\cup B), (A\cap C) \subset (A\cap B)$$ cuando se combinan, implican $C\subset B$ . Si a alguien le interesa, esto es del libro de texto en línea "Conceptos básicos de matemáticas" por Elias Zakon. Me temo que no tengo ni idea de por dónde empezar. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que $x \in C$ . Es necesario mostrar $x \in B$ . Desde $x \in C$ , $x \in A \cup C$ Así que, o bien $x \in A$ ou $x \notin A$ . Consideramos dos casos:

Caso 1: $x \in A$ . Entonces, como $x \in C$ Debemos tener $x \in A \cap C$ . ¿Qué implica esto?

Caso 2: $x \notin A$ .entonces $x \in C$ . Pero $A \cup C \subset A \cup B$ . ¿Qué implica esto?

Answer 2

Supongamos que $c$ está en $C$ . Queremos demostrar que $c$ está en $B$ . Ciertamente $C$ está en $A \cup C$ y por lo tanto por su primera suposición, $c$ está en $A \cup B$ . Es decir, o bien $c$ está en $A$ ou $c$ está en $B$ . En este último caso hemos terminado. En el primer caso, $c$ está en $C$ y en $A$ y así $c$ está en $A \cap C$ y por lo tanto por su segunda suposición, $c$ está en $A \cap B$ y por lo tanto en $B$ .

Así, en todos los casos, si $c$ está en $C$ entonces $c$ está en $B$ y así hemos demostrado $C \subset B$ .

Answer 3

Comenzamos con las definiciones.

1. $A\cup C\subseteq A\cup B$ significa que si $x\in A$ o $x\in C$ entonces $x\in A$ o $x\in B$ .

2. $A\cap C\subseteq A\cap B$ significa que si $x\in A$ y $x\in C$ entonces $x\in A$ y $x\in B$ .

3. Por último, $C\subseteq B$ que es lo que queremos mostrar, es decir si $x\in C$ entonces $x\in B$ .

Ahora supongamos que se dan las dos primeras. Para demostrar lo último tenemos que demostrar que lo que se dice en la definición es cierto. Así que empezamos por tomar un número arbitrario de $c\in C$ y repasando lo que ya sabemos:

• Supongamos que $c\in C$ .

• O bien $c\in A$ ou $c\notin A$ .

  1. Si $c\in A$ entonces $c\in A\cap C$ por la segunda afirmación tenemos que $c\in A\cap B$ . En particular $c\in B$ .

  2. Si $c\notin A$ entonces $c\in A\cup C$ ya que $c\in C$ y por la primera afirmación tenemos que $c\in A\cup B$ . Por lo tanto, $c\in A$ o $c\in B$ . Sin embargo, suponemos que $c\notin A$ por lo que tenemos que tener $c\in B$ .

• Demostramos que de cualquier manera $c\in C$ implica que $c\in B$ . Por lo tanto, $C\subseteq B$ .

---

Un consejo que siempre repito cuando enseño matemáticas (sobre todo a nivel de introducción) es tener a mano las definiciones de todos los símbolos y términos. La mayoría de estos ejercicios se pueden resolver simplemente desentrañando las definiciones hasta su forma desnuda y luego reconstruyendo lo que tenemos (con las suposiciones) para tener la conclusión.

Cuando se aborda un problema lo primero que hay que saber hacer es decir exactamente qué significa cada símbolo y cuáles son las relaciones entre los diferentes símbolos. La mayoría de los estudiantes de primer año suelen ignorar esto. No se puede resolver un problema que no se entiende, al menos no de forma significativa y útil.

Answer 4

Esta es la salida HTML de mi DC Proof prueba de ello.

Efectivamente, procede exactamente igual que las otras respuestas: En la línea 15, asumiendo $x \in C$ , mostrando este medio, en la línea 42, $x \in A\ or\ B$ ; entonces asumiendo $x \in A$ , en la línea 43 que muestra esto significa $x \in B$ en la línea 58; a continuación, sólo hay que completar los detalles que muestran que se han cubierto todos los casos y $x \in C \implies x \in B$ en la línea 64.

Simple Set Theory Question

http://math.stackexchange.com/questions/151245/simple-set-theory-question

DC Proof does not have a built in subset operator, so I have converted that as such Subset(A,B)=>ALL(d):[dεA=>dεB]

DC Proof also implies you can't do (all) set operations on the class of all sets, so all entries are in a universal set, u.

However I have then deleted all unused lines split from earlier joined entries.

1 ALL(a):[Set(a) => EXIST(b):[Set(b) & ALL(c):[c ε b <=> Set(c) & ALL(d):[d ε c => d ε a]] & ALL(c):ALL(d):[c ε b & d ε b => Set(c||d) & c||d ε b & ALL(e):[e ε c||d <=> e ε c | e ε d]] & ALL(c):ALL(d):[c ε b & d ε b => Set(c&&d) & c&&d ε b & ALL(e):[e ε c&&d <=> e ε c & e ε d]] & ALL(c):[c ε b => Set(`c) & `c ε b & ALL(d):[d ε `c <=> d ε a & ~d ε c]]]]

Set Ops

2 Set(u)

Axiom

3 Set(u) => EXIST(b):[Set(b) & ALL(c):[c ε b <=> Set(c) & ALL(d):[d ε c => d ε u]] & ALL(c):ALL(d):[c ε b & d ε b => Set(c||d) & c||d ε b & ALL(e):[e ε c||d <=> e ε c | e ε d]] & ALL(c):ALL(d):[c ε b & d ε b => Set(c&&d) & c&&d ε b & ALL(e):[e ε c&&d <=> e ε c & e ε d]] & ALL(c):[c ε b => Set(`c) & `c ε b & ALL(d):[d ε `c <=> d ε u & ~d ε c]]]

U Spec, 1

4 EXIST(b):[Set(b) & ALL(c):[c ε b <=> Set(c) & ALL(d):[d ε c => d ε u]] & ALL(c):ALL(d):[c ε b & d ε b => Set(c||d) & c||d ε b & ALL(e):[e ε c||d <=> e ε c | e ε d]] & ALL(c):ALL(d):[c ε b & d ε b => Set(c&&d) & c&&d ε b & ALL(e):[e ε c&&d <=> e ε c & e ε d]] & ALL(c):[c ε b => Set(`c) & `c ε b & ALL(d):[d ε `c <=> d ε u & ~d ε c]]]

Detach, 3, 2

5 Set(us) & ALL(c):[c ε us <=> Set(c) & ALL(d):[d ε c => d ε u]] & ALL(c):ALL(d):[c ε us & d ε us => Set(c||d) & c||d ε us & ALL(e):[e ε c||d <=> e ε c | e ε d]] & ALL(c):ALL(d):[c ε us & d ε us => Set(c&&d) & c&&d ε us & ALL(e):[e ε c&&d <=> e ε c & e ε d]] & ALL(c):[c ε us => Set(`c) & `c ε us & ALL(d):[d ε `c <=> d ε u & ~d ε c]]

E Spec, 4

6 ALL(c):ALL(d):[c ε us & d ε us => Set(c||d) & c||d ε us & ALL(e):[e ε c||d <=> e ε c | e ε d]]

Split, 5

7 ALL(c):ALL(d):[c ε us & d ε us => Set(c&&d) & c&&d ε us & ALL(e):[e ε c&&d <=> e ε c & e ε d]]

Split, 5

8 Set(a) & Set(b) & Set(c) & a ε us & b ε us & c ε us

Axiom

9 a ε us

Split, 8

10 b ε us

Split, 8

11 c ε us

Split, 8

12 ALL(d):[d ε a||c => d ε a||b] & ALL(d):[d ε a&&c => d ε a&&b]

    Premise

13 ALL(d):[d ε a||c => d ε a||b]

    Split, 12

14 ALL(d):[d ε a&&c => d ε a&&b]

    Split, 12

   15  x ε c

        Premise

   16  x ε a||c => x ε a||b

        U Spec, 13

   17  ALL(d):\[a ε us & d ε us => Set(a||d) & a||d ε us & ALL(e):\[e ε a||d <=> e ε a | e ε d\]\]

        U Spec, 6

   18  ALL(d):\[a ε us & d ε us => Set(a&&d) & a&&d ε us & ALL(e):\[e ε a&&d <=> e ε a & e ε d\]\]

        U Spec, 7

   19  a ε us & b ε us => Set(a||b) & a||b ε us & ALL(e):\[e ε a||b <=> e ε a | e ε b\]

        U Spec, 17

   20  a ε us & b ε us => Set(a&&b) & a&&b ε us & ALL(e):\[e ε a&&b <=> e ε a & e ε b\]

        U Spec, 18

   21  a ε us & c ε us => Set(a||c) & a||c ε us & ALL(e):\[e ε a||c <=> e ε a | e ε c\]

        U Spec, 17

   22  a ε us & c ε us => Set(a&&c) & a&&c ε us & ALL(e):\[e ε a&&c <=> e ε a & e ε c\]

        U Spec, 18

   23  a ε us & b ε us

        Join, 9, 10

   24  a ε us & c ε us

        Join, 9, 11

   25  Set(a||b) & a||b ε us & ALL(e):\[e ε a||b <=> e ε a | e ε b\]

        Detach, 19, 23

   26  Set(a&&b) & a&&b ε us & ALL(e):\[e ε a&&b <=> e ε a & e ε b\]

        Detach, 20, 23

   27  Set(a||c) & a||c ε us & ALL(e):\[e ε a||c <=> e ε a | e ε c\]

        Detach, 21, 24

   28  Set(a&&c) & a&&c ε us & ALL(e):\[e ε a&&c <=> e ε a & e ε c\]

        Detach, 22, 24

   29  ALL(e):\[e ε a||b <=> e ε a | e ε b\]

        Split, 25

   30  ALL(e):\[e ε a&&b <=> e ε a & e ε b\]

        Split, 26

   31  ALL(e):\[e ε a||c <=> e ε a | e ε c\]

        Split, 27

   32  ALL(e):\[e ε a&&c <=> e ε a & e ε c\]

        Split, 28

   33  x ε a||c <=> x ε a | x ε c

        U Spec, 31

   34  \[x ε a||c => x ε a | x ε c\]
        & \[x ε a | x ε c => x ε a||c\]

        Iff-And, 33

   35  x ε a | x ε c => x ε a||c

        Split, 34

   36  x ε a | x ε c

        Arb Or, 15

   37  x ε a||c

        Detach, 35, 36

   38  x ε a||b

        Detach, 16, 37

   39  x ε a||b <=> x ε a | x ε b

        U Spec, 29

   40  \[x ε a||b => x ε a | x ε b\]
        & \[x ε a | x ε b => x ε a||b\]

        Iff-And, 39

   41  x ε a||b => x ε a | x ε b

        Split, 40

   42  x ε a | x ε b

        Detach, 41, 38

       43  x ε a

            Premise

       44  x ε a & x ε c

            Join, 43, 15

       45  x ε a&&c <=> x ε a & x ε c

            U Spec, 32

       46  \[x ε a&&c => x ε a & x ε c\]
            & \[x ε a & x ε c => x ε a&&c\]

            Iff-And, 45

       47  x ε a&&c => x ε a & x ε c

            Split, 46

       48  x ε a & x ε c => x ε a&&c

            Split, 46

       49  x ε a&&c

            Detach, 48, 44

       50  x ε a&&c => x ε a&&b

            U Spec, 14

       51  x ε a&&b

            Detach, 50, 49

       52  x ε a&&b <=> x ε a & x ε b

            U Spec, 30

       53  \[x ε a&&b => x ε a & x ε b\]
            & \[x ε a & x ε b => x ε a&&b\]

            Iff-And, 52

       54  x ε a&&b => x ε a & x ε b

            Split, 53

       55  x ε a & x ε b => x ε a&&b

            Split, 53

       56  x ε a & x ε b

            Detach, 54, 51

       57  x ε a

            Split, 56

       58  x ε b

            Split, 56

   59  x ε a => x ε b

        Conclusion, 43

   60  ~x ε a => x ε b

        Imply-Or, 42

   61  x ε a | ~x ε a

        Or Not

   62  \[x ε a => x ε b\] & \[~x ε a => x ε b\]

        Join, 59, 60

   63  x ε b

        Cases, 61, 62

64 ALL(d):[d ε c => d ε b]

    Conclusion, 15

65 ALL(d):[d ε a||c => d ε a||b] & ALL(d):[d ε a&&c => d ε a&&b] => ALL(d):[d ε c => d ε b]

Conclusion, 12