Categoría de Relaciones Binarias es Isomorfo a su Doble Categoría

Question

Estoy trabajando en el aprendizaje de alguna categoría de la teoría y el libro de reclamaciones que $\mathbf{Rel} \stackrel{\sim}{=} \mathbf{Rel}^\mathsf{op}$ donde $\mathbf{Rel}$ es la categoría de relaciones binarias. El functor que se supone que demuestran que esto es $F : \mathcal{Rel} \rightarrow \mathcal{Rel}^\mathsf{op}$ donde se lleva objetos y de las relaciones de su relación opuesta. Es decir, para que una flecha $f$ en $\mathbf{Rel}$, $f \subseteq A \times B$ se asigna a $f^\mathsf{op} := \left\{ <b, a> \in B \times A | <a, b> \in f \right\}$.

Mi problema es que no veo cómo esto hace que sea pasado, uno de los axiomas de ser un functor, dado en el libro como

$F(f: A \rightarrow B) = F(f):F(A) \rightarrow F(B)$

En primer lugar, yo realmente no creo que entiendo cómo se supone que voy a entender esta parte de la definición. Se supone que tengo que estar tomando el lado izquierdo de la igualdad como la asignación de la flecha, y el lado derecho como la afirmación de que la flecha que está asignado a tiene como dominio y codominio el functor aplica para el dominio y el codominio de la original de flecha?

Parece que en este ejemplo, ni siquiera nos dan la flecha $f^\mathsf{op}$ porque no cambio el dominio y el codominio. Y no parece haber ninguna manera de hacer este cambio mediante la asignación de los objetos a diferentes objetos.

En resumen, probablemente estoy irremediablemente confundidos. ¿Cómo es que este es un functor? Y cómo se supone que voy a entender esta parte de la definición de un functor? Parece aguado.

Gracias por cualquier ayuda que puedan brindar.

Answer 1

También ver a mi comentario.

Basado en la categoría de $\mathcal{C}$ hemos categoría $\mathcal{C}^{op}$ determinado por:

1) $\mathcal{C}^{op}$ tiene el mismo conjunto de objetos como el original categoría $\mathcal{C}$

2) Para cada par de objetos de $a,b$ tenemos $\mathcal{C}^{op}\left(a,b\right)=\mathcal{C}\left(b,a\right)$

3) Si se denota la composición en $\mathcal{C}$ $\circ$ y la composición en $\mathcal{C}^{op}$ $\circ^{op}$ $f\circ^{op}g$ se define el fib $g\circ f$ está definido y esto $f\circ^{op}g:=g\circ f$

Si $g\in\mathcal{C}^{op}\left(a,b\right)$ $f\in\mathcal{C}^{op}\left(b,c\right)$ a continuación, $f\circ^{op}g$ debe ser definido, que es de hecho el caso, ya que $g\in\mathcal{C}\left(b,a\right)\wedge f\in\mathcal{C}\left(c,b\right)$ nos dice que $g\circ f$ está definido.

Aquí $f\circ^{op}g=g\circ f\in\mathcal{C}\left(c,a\right)=\mathcal{C}^{op}\left(a,c\right)$ como sería de esperar.

Se podría decir que el $\mathcal{C}^{op}$ tiene exactamente los mismos objetos y las flechas como $\mathcal{C}$ y lo único diferente es la composición. En consecuencia, el dominio y codominio de una flecha de intercambio. La observación de una flecha $f$, a continuación, simplemente debemos hacernos la siguiente pregunta en qué contexto estamos observando: es una flecha de $\mathcal{C}$ aquí, o una flecha de $\mathcal{C}^{op}$?

Functor $F:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}^{op}$ como se describe en tu pregunta envía flecha $f\in\mathbf{Rel}\left(A,B\right)$ a una flecha $f^{op}$ que pertenece a $\mathbf{Rel}\left(B,A\right)=\mathbf{Rel}^{op}\left(A,B\right)=\mathbf{Rel}^{op}\left(F\left(A\right),F\left(B\right)\right)$ como debe ser.

Muy a menudo flecha $f$ $\mathcal{C}$ se denota como $f^{op}$ si es visto como una flecha en $\mathcal{C}^{op}$. Esto no es realmente es necesario, puede aclarar las cosas (nos dice qué contexto estamos trabajando) , pero también puede causar confusión. Por ejemplo la flecha $F\left(f\right)$ en su pregunta se denota como $f^{op}$ pero no es esto $f$ en el otro contexto. Si que debería ser tendríamos $f^{op}\in\mathbf{Rel}\left(A,B\right)=\mathbf{Rel}^{op}\left(B,A\right)$ que no es el caso.