Mostrar la secuencia converge a M

Question

Suponga $f : [a,b] \to R$ es continua y $f(x) \ge 0$ todos los $x \in [a,b]$, e $M = \sup\{f(x) : x \in [a,b]\}$. Mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\left[\int_a^bf(x)^ndx\right]^{1/n}$$ converges to $M$.

Yo sé que usted tiene que conseguir $|[\int_a^b[f(x)^ndx]^{1/n}-M| < \epsilon$ por la definición de una secuencia convergente, pero no estoy seguro de cómo simplificar el lado izquierdo de esta desigualdad. Que se le supone a ver la función dentro de la secuencia como una composición de dos funciones quizá $f(x)$ $g(x) = x^n$ o usar un cambio de variable para integrar mejor a esta función?

Answer 1

Sugerencia: queremos demostrar que el límite es de $\max f$. Así que la parte de $[a,b]$ donde $f$ no está cerca de su máximo no debe contribuir a la formación integral. Ya sabes que $f\le M \implies \displaystyle\left(\int_a^b f^n(x)dx\right)^{1/n}\le (b-a)^{1/n}M$, cuyo límite es $M$, por lo que queda de demostrar a la otra desigualdad.

Al $f$ es continuo, hay al menos una (no vacío) intervalo de $[u,v]$ como $$ x\in [u,v] \implica f(x) \ge M - \epsilon $$ Entonces $$ \int_a^b f(x)^n dx \ge \int_u^v f(x)^n dx\ge (M - \epsilon )^n(v-u) $$