La caracterización de la cuadrática extensiones de contenidos en forma cíclica extensiones de grado 4

Question

Deje $D$ ser un squarefree entero. Estoy tratando de demostrar que $\mathbb Q[\sqrt D]$ está contenida en una extensión de Galois de $\mathbb Q$ con grupo de Galois $\mathbb Z/4$ si y sólo si $D$ es la suma de dos cuadrados, $D = a^2 + b^2$$a,b\in \mathbb Q$.

La sugerencia en el ejercicio en Dummit y Foote sugiere considerar la extensión de $\mathbb Q[\sqrt{s + s\sqrt D}]$ para la dirección de avance. Sin embargo, estoy seguro de cómo demostrar que esta extensión de Galois, y mucho menos que su grupo de Galois es cíclico de orden 4.

Para la dirección inversa, me expresó el dado Galois de la extensión como $\mathbb Q[\sqrt{a+b\sqrt D}]$ algunos $a,b\in \mathbb Q$. Me mostró que esta extensión ha $\mathbb Q[\sqrt{c^2 - d^2 D}]$ como un subcampo para algunos $c,d \in \mathbb Q$. A partir de esto, deduje que el $\sqrt D$ $\sqrt{c^2 - d^2 D}$ generar la extensión de la misma, por lo $\sqrt D = x \sqrt{c^2 - d^2 D}$ algunos $x$, y que, por ende,$D = \frac{x^2 c^2}{1 + x^2 d^2} $. Parece que no debe ser una manera de descomponer este como una suma de dos cuadrados, pero no veía cómo.

Yo no etiquetar esto como una tarea como la que estoy estudiando de forma independiente.

Answer 1

Si $\Bbb Q \subset L$ tiene su grupo de Galois $G$ cíclico de orden $4$, entonces tiene que ser una ecuación cuadrática de la extensión de una ecuación cuadrática de la extensión de $\Bbb Q$, por lo que hay $a,b,D \in \Bbb Q$ tal que $\Bbb Q \subset \Bbb Q(\sqrt D) \subset \Bbb Q(\sqrt D, \sqrt{a + b \sqrt D}) = L$.

Dado elementos genéricos $a,b,D$$\Bbb Q$, esto no es una extensión de Galois, su Galois cierre es $\Bbb Q(\sqrt D, \sqrt{a + b\sqrt D}, \sqrt{a - b\sqrt D})$, y su grupo de Galois $G'$ es un poco más complicado ($G'$ es el grupo diedral de orden 8). Ahora podemos ver $G$ como el único subgrupo cíclico de $G'$ o de la orden de $4$. El subcampo de la extensión genérica fijo por $G$$\Bbb Q(\sqrt{D(a^2-b^2D)})$, y de manera particular para $a,b,D \in \Bbb Q$, $\Bbb Q(\sqrt{a+b\sqrt D})$ ha Galois grupo $G$ si y sólo si $\Bbb Q = \Bbb Q(\sqrt{D(a^2-b^2D)}) \varsubsetneq \Bbb Q(\sqrt D, \sqrt{a^2-b^2D})$, lo que equivale a $D(a^2-b^2D)$ es un cuadrado, y $D$ no es un cuadrado.

Supongamos $D(a^2-b^2D) = c^2$. A continuación, $Da^2 = c^2 + b^2D^2$, e $D = (c/a)^2 + (bD/a)^2$.
Supongamos $D = x^2+y^2$ y no es un cuadrado. Entonces, simplemente puede resolver por $x = c/a$$y=bD/a$. Por ejemplo, podemos elegir el $a=D, c=xD$$b = y$ : a continuación, $D(a^2-b^2D) = D(D^2-y^2D) = D^2(D-y^2) = D^2x^2 = (Dx)^2$ que es un cuadrado como sea necesario.