Es una función determinada por su integrales a través de conjuntos?

Question

Si $f \in L^1(\mathbb R)$ satisface $$ \int_U f = 0 $$ para cada conjunto abierto $U \subset \mathbb R$, entonces es cierto que $f = 0$.e.?

Answer 1

Su supuesto implica que la $\int_E f = 0 $ por cada conjunto compacto $E$. Pero, como cada medida positiva tiene una medida positiva subconjunto compacto, ninguno de los conjuntos de $\{x : f(x) > 0\}$, $\{x : f(x) < 0\}$ puede tener medida positiva.

Answer 2

Desde $f$ es medible, el conjunto $A=\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)>0\}$ es medible. Por lo tanto, por la regularidad de la medida de Lebesgue, $m$, para cada $\varepsilon>0$ existe un conjunto abierto $U$ tal que $A\subset U$$m(U\setminus A)<\varepsilon$. Deje $f^+$ $f^-$ denotar la parte positiva y negativa si $f$. Entonces, tenemos $$ 0=\int_U f\, dm= \int_A f^+\ dm-\int_{U\setminus A} f^-\, dm $$ Tenga en cuenta que la medida de $\mu$ sobre el Lebesgue medibles subconjuntos de a $\mathbb{R}$ definido por $$ \mu(A)=\int_{A} f^-\, dm $$ Es absolutamente continua con respecto a $m$. Por lo tanto, para cada $n$ $B$ medibles existe un $\delta_n$ tal que $\mu(B)<1/n$ si $m(B)<\delta_n$. Tomando $\varepsilon=\delta_n$ los rendimientos de una secuencia de bloques abiertos $U_n$ tal que $m(U_n\setminus A)<\delta_n$. Por lo tanto, tenemos $$ 0\leq \int_A f^+\, dm=\int_{U_n\setminus A} f^-\, dm< \frac{1}{n} $$ Y esto es válido para todos los $n$. Por lo tanto, debemos tener $\int_A f^+\, dm=0$ y desde $f^+\geq 0$, esto implica que $f^+=0$.e. Utilizando un argumento similar, podemos encontrar que $f^-=0$.e. lo que da el resultado.