Qué $f=g_1^{n_1}\cdots g_k^{n_k}$ implican $Gal(f)=Gal(g_1)\times\cdots\times Gal(g_k)$?

Question

Deje $f\in \mathbb{Z}[x]$ $f=g_1^{n_1}\cdots g_k^{n_k}$ donde $g_1,\cdots, g_k$ son distintos polinomios irreducibles sobre $\mathbb{Q}$. Si es $Gal(f)=Gal(g_1)\times\cdots\times Gal(g_k)$? Se agradece un montón.

Es esto correcto o incorrecto? Cómo probar? (también podemos añadir algunas condiciones si no se puede probar)

Answer 1

No, no necesariamente. Intente, por ejemplo, $g_1 = x^2 + 2$, $g_2 = x^2 - 2$, $g_3 = x^2 + 1$. Tenga en cuenta que $\mathbb Q(i\sqrt{2}, \sqrt{2}, i) = \mathbb Q(i, \sqrt{2})$.