Máximo de medidas sobre conjuntos y funciones

Question

Dejemos que $(X,\mathcal A)$ sea cualquier espacio medible y denote por $\mathrm b\mathcal A_1$ el conjunto de todos los valores reales $\mathcal A$ -funciones medibles $f$ Satisfaciendo a $\|f\|:=\sup_{x\in X}|f(x)|\leq 1$ .

Dejemos que $P$ y $Q$ sean dos familias arbitrarias de medidas de probabilidad sobre $(X,\mathcal A)$ y denota $$ P^*f := \sup_{p\in P} \int_X f\,\mathrm dp $$ para cualquier $f\in\mathrm b\mathcal A_1$ y, de forma similar, denota $Q^*$ . Para simplificar, escribamos $P^*(A) = P^*1_A$ para cualquier $A\in \mathcal A$ donde $1_A:X\to \{0,1\}$ es la función indicadora del conjunto $A$ . ¿Es cierto que $$ Q^*f\leq P^*f \quad \forall f\in \mathrm b\mathcal A_1 \iff Q^*(A)\leq P^*(A) \quad \forall A\in \mathcal A. $$ La dirección $\implies$ es obvio, sin embargo no estoy seguro de lo que pasa en la otra dirección. También me gustaría que me sugirieran la fuente donde se encuentran las propiedades similares de $P^*$ se consideran. Por lo que sé ahora, será una capacidad, pero eso es todo.

Answer 1

Toma $X = \{1,2,3\}$ , $P = \{\delta_1, \frac12\delta_2+\frac12\delta_3\}$ , $Q=\{\frac12\delta_1+\frac12\delta_2\}$ y $f$ definido como $f(1) = 0$ , $f(2)=1$ y $f(3)=-1$ . Entonces $$Q^*(A)\leq P^*(A) \quad \forall A\in \mathcal A,$$ pero $$P^*f = 0 < \frac12 = Q^*f.$$