Demostrar $\tan 54^\circ=\frac{\sin24^\circ}{1-\sqrt{3}\sin24^\circ}$

Question

Cómo demostrar esta identidad sin necesidad de utilizar los valores reales de a $\tan54^\circ$ $\sin24^\circ$

$$\tan 54^\circ=\dfrac{\sin24^\circ}{1-\sqrt{3}\sin24^\circ}$$

Edit: yo todavía no lo entiendo, estoy atrapado en el:

$$\dfrac{\cos 24^\circ+\sqrt{3}\sin 24^\circ}{\sqrt{3}\cos 24^\circ-\sin 24^\circ}$$

P. S. : Es esto una coincidencia o una más de forma general se puede obtener?

Answer 1

Finalmente, después de mucho esfuerzo tengo una prueba.

Tenga en cuenta que $2\cdot 36^{\circ} =180^{\circ}-3\cdot 36^{\circ}$ por lo tanto

$$\sin 2\cdot 36^{\circ}\cdot =\sin 3\cdot 36^{\circ}$$ y por lo tanto

$$2\sin36^{\circ}\cos 36^{\circ}=3\sin 36^{\circ}-4\sin^336^{\circ}$$ y por lo tanto

$$2\cos 36^{\circ}=3-4\sin^2 36^{\circ}$$ así $$2\cos 36^{\circ}=3\cos^2 36^{\circ}-\sin^2 36^{\circ}=(\sqrt{3}\cos36^{\circ}-\sin 36^{\circ})(\sqrt{3}\cos36^{\circ}+\sin36^{\circ})$$

Ahora $$\sin24^{\circ}=\sin(60^{\circ}-36^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos36^{\circ}-\frac{1}{2}\sin36^{\circ}$$

y por lo tanto con la última ecuación tenemos $$\cos 36^{\circ}=\sin24^{\circ}(\sqrt{3}\cos36^{\circ}+\sin36^{\circ})$$

dividiendo por $\sin36^{\circ}$ tenemos

$$\cot 36^{\circ}=\sin24^{\circ}(\sqrt{3}\cot36^{\circ}+1)$$

Tenga en cuenta que $\tan54^{\circ}=\tan(90^{\circ}-36^{\circ})=\cot36^{\circ}$

$$\tan54^{\circ}=\sin24^{\circ}(\sqrt{3}\tan54^{\circ}+1)$$ a partir de la cual

$$\tan54^{\circ}=\frac{\sin24^{\circ}}{1-\sqrt{3}\sin24^{\circ}}$$ de la siguiente manera.

La moraleja es que $2\cdot 18^{\circ}+3\cdot 18^{\circ}=90^{\circ}$ los rendimientos de algunas buenas relaciones trigonométricas que debe ser tomado en consideración.

Answer 2

Sugerencia:

$$\tan 54^\circ = \tan (30^\circ + 24^\circ) = \frac{\sin(30^\circ+24^\circ)}{\cos(30^\circ+24^\circ)}$$