No se puede encontrar el error en una sencilla prueba.

Question

Considere el siguiente teorema.

$\textbf{Teorema}$ para cualquier conjuntos $A, B, C, D$, si $a \times B \subseteq C \veces D$ entonces $A \subseteq C$ y $B \subseteq D$.

A continuación, la siguiente prueba es dada. $\textbf{Prueba:}$ Supongamos que $A \times B \subseteq C \veces D$. Deje que $a$ ser un elemento arbitrario de $A$ y dejar que $b$ a ser un elemento arbitrario de $B$. Entonces $(a,b) \in A\times B$. así que desde que $A\times B \subseteq C \veces D$, $(a,b) \C \veces D$. Por lo tanto $a \in C$ y $b \D$. Desde $a$ y $b$ eran arbitrarias elementos de $A$ y $B$, respectivamente, esto muestra que $A \subseteq C$ y $B \subseteq D$. QED.

Sé que el teorema no es correcto, porque no es un contraejemplo $A = \left\lbrace 1 \right\rbrace$, $B = C = D = \emptyset$. Aviso que $a \times B \subseteq C \veces D \sim \emptyset \subseteq \emptyset$ pero $A \nsubseteq C$. Así que, claramente, esta es una prueba no válida, pero no puedo averiguar que paso es malo.

Answer 1

Ellos escriben "dejar que $b$ a ser un elemento arbitrario de $B$", sin verificar si $B$ en realidad tiene elementos.

Adenda: La prueba de lo contrario es esencialmente OK suponiendo que se requieren $a,B\neq\emptyset$, pero me gustaría escribir un poco diferente: Vamos a $a$ ser un elemento arbitrario de $A$. Como $B$ es no vacío, se puede encontrar $b\in B$ y por tanto $(a,b)\in A\times B$. Esto implica $(a,b)\C\veces D$ y por tanto $a\in C$. Que demuestra que $A \subseteq C$ y asimismo, podemos demostrar que $B \subseteq D$.

Answer 2

La lógica dentro de la prueba de sonido, y en efecto, demostrar algo, pero no prueba la declaración que está dado por el teorema.

Quieres demostrar que $A \subseteq C$ y que $B \subseteq D$. Para hacer esto, usted necesita para comprobar esta afirmación:

$$(\forall una. (a \in a \rightarrow \en C)) \de la tierra (\forall b. (b \in B \rightarrow b \D))$$

Por lo tanto, usted necesita demostrar que para cualquier elección de $a$ que si $a \in A$, entonces $a \in C$ y, de forma independiente, para cualquier elección de $b$ que si $b \in B$, entonces $b \D$. Una prueba de esta forma tendría que manejar estos independiente, con las opciones de $a$ y $b$ no interactúan el uno con el otro.

Sin embargo, en la prueba anterior, la prueba comienza iniciando con una elección arbitraria de $a$ y una elección arbitraria de $b$, a continuación, muestra que si $a \in A$ y $b \in B$, entonces $a \in C$ y $b \D$. En otras palabras, usted ha demostrado esta declaración:

$$\forall una. \forall b. (a \in A \de la tierra b \in B \rightarrow \C \de la tierra b \D)$$

Esta afirmación es absolutamente cierto - si usted puede encontrar un $a \in A$ y $b \in B$, entonces usted sabe que $a \in C$ y $b \D$. Sin embargo, no es lógicamente equivalente a la afirmación de que quieres demostrar, como se evidencia por su contraejemplo.

Answer 3

Mis dos centavos:

Sea a un elemento arbitrario de Una y dejar que b sea un elemento arbitrario de B.

En la mayoría de las pruebas que usted puede conseguir lejos con esta imprecisión, pero ya que usted está considerando dos elementos a la vez el deslizamiento de tontos.

Desea mostrar dos estados independientes que necesitan ser probadas una a una:

$$\forall \en a, a \C$$ $$\forall b \in B, b \in D$$

Así que vamos a $a$ ser un elemento arbitrario de $A$. Esta es la forma de probar un "para todos" de la declaración. Esta es su única suposición que hacer para probar la primera "para todos" de la declaración. "Ahora existe una correspondiente a $b\in B$" es una afirmación, y, en general, falsa.