¿Cuáles son las aplicaciones de la teoría de números en la física?

Question

Estaba leyendo El mapa de mi vida, de Goro Shimura. En el libro escribió la siguiente cita. Me hizo plantear la pregunta del título. En concreto, ¿hay alguna aplicación de la teoría de las formas modulares en la física?

Un conocido matemático-físico Eugene Wigner estaba en nuestro departamento, y por eso ocasionalmente hablaba con él. Era pomposo y se tomaba a sí mismo muy en serio. Esa es la impresión compartida por todos los que hablaron con él. En una fiesta del departamento, me preguntó qué tipo de matemáticas estaba haciendo. Hizo esa pregunta como si me conociera por primera vez. En aquel momento yo era profesor titular y su colega profesor titular y su colega desde hacía al menos seis años, quizá más. I le dije vagamente: "Bueno, principalmente cosas relacionadas con las formas modulares". Entonces me dijo: "Oh, formas modulares; los físicos no necesitamos eso" en un tono muy despectivo. Puedo añadir que hay algunos físicos que están interesados en las formas modulares. Una vez Edward Witten asistió a mi curso de postgrado curso de posgrado sobre formas modulares de Siegel, y a menudo hacía preguntas sensatas en clase.

Answer 1

Para explicar un aspecto del contexto de esa interacción: Wigner era un miembro muy veterano de la facultad, había ganado un premio Nobel y tenía más de 60 años. Shimura era un profesor titular muy joven.

Otro aspecto: El artículo de Wigner de 1939 sobre la teoría de la representación de (en efecto) $SO(2,1)$ escrito para abordar cuestiones de mecánica cuántica, fue el primer resultado sustantivo sobre la teoría de la representación de grupos no abelianos y no compactos. El artículo de 1947 del físico V. Bargmann fue el segundo. No se produjeron más avances al respecto hasta la década de 1950, cuando Harish-Chandra, alumno del físico Dirac, inició su estudio sistemático de la teoría de la representación de grupos semisimples y reductores (Lie y, finalmente, p-ádicos).

Mientras tanto, Shimura había resucitado casi en solitario los aspectos aritméticos y de geometría algebraica de holomorfo formas modulares en grupos de alto rango, aunque Klingen y Hel Braun (un estudiante de Siegel) habían estado trabajando ("silenciosamente"?) en los aspectos complejos-analíticos, y la discusión de Klingen c. 1960 de los valores especiales de las funciones L (abelianas) sobre campos numéricos era muy aritmética. Quizás la contribución "temprana" más especial de Shimura fue la posibilidad de expresar las funciones zeta de Hasse-Weil de las "curvas de Shimura" (como se conocen ahora, una clase que generaliza las "curvas modulares") como transformadas de Mellin de formas automórficas de algún tipo, etc.

Incluso la plausibilidad de la conjetura Taniyama-Shimura no sería reconocida por Weil hasta mediados de los años 60, después de su trabajo sobre los teoremas conversos. La gente de entonces, y hasta el trabajo de Wiles-Taylor y otros a mediados o finales de los años 90, creo que pensaba que la RH se demostraría antes que Taniyama-Shimura. Nadie tenía idea de la RH, pero tenían aún menos [sic] ideas sobre Taniyama-Shimura.

Wigner no habría conocido las conjeturas de Weil, ni la naciente geometría algebraica necesaria para ponerlas en contexto. Shimura podría no haber creído que la teoría de repn de Harish-Chandra, a partir del resultado de Wigner, proporcionaría, como explicaron Gelfand y su escuela, y Selberg, y como retomaron Langlands y otros, un contexto general para las formas automórficas no necesariamente holomórficas, si no su "aritmética".

Los otros aspectos "humanos" de la situación los podemos imaginar fácilmente...

Pero, incluso más allá del aspecto humano-fable, no es en absoluto sorprendente que Shimura no sintiera admiración por Wigner, y que éste no tuviera motivos para preocuparse mucho por el trabajo de Shimura.

El interés de Witten fue bastante posterior, después de que los trabajos de Shimura, Selberg, Harish-Chandra, Langlands y muchos otros dejaran claro que los objetos especiales estudiados en la "teoría de números" se parecían mucho a los objetos especiales de algunas partes de la física. Por no mencionar que Witten es más "visionario" que muchos de nosotros. Y ganó una Medalla Fields, así que quizá también sea un buen matemático :)

Desde mi punto de vista personal, aparte de esas observaciones históricas, observo que la matemática específica en arXiv que parece relevante para mis preocupaciones, en segundo lugar después de la "teoría de números", es la sección "math-ph".

Como ejemplo, las ecuaciones diferenciales de van Hove (et al) que (según he oído...) modelan algo sobre las interacciones de los gravitones, son precisamente el mismo género de ecuaciones diferenciales "en formas automórficas" que aparecen en varios escenarios de la teoría espectral, que se remontan a los artículos de Anton Good a principios de los años 80, y que continúan en el trabajo de varias personas en la actualidad. Steven Miller en Rutgers, un tipo que "hace" formas automórficas, ha colaborado activamente con ese grupo de física, por ejemplo.

En efecto, Rudnick, Ueberschar, Marklof y sus colaboradores suelen decir que hacen "física matemática", y que están en "institutos de física", ... pero su trabajo me parece un estudio de los aspectos teóricos de los números del análisis armónico... que se extendería a ser "formas automórficas", si se lleva a casos más difíciles.

Y, por último, probablemente las autobiografías no implican de forma fiable la reconsideración académica de casi nada, ya que son reminiscencias... por lo que la exactitud científica no está ni mucho menos garantizada.

Answer 2

En las reuniones de la AMS de 1991 en Orono, se ofreció un curso corto bajo el título "La eficacia irrazonable de la teoría de números". Se publicó un resumen en el volumen 46 de la serie de la Sociedad "Proceedings of Symposia in Applied Mathematics", listado en LC QA241.U67. Tres de las ponencias pueden ser de su interés: "The Unreasonable Effectiveness of Number Theroy in Physics, Communication and Music", por Manfred Schroeder; "The Reasonable and Unreasonable Effectiveness of Number Theory in Statistical Mechanics", por Georege Andrews; y "Number Theory and Dynamical Systems", por Jeffrey Lagarias.

Answer 3

Varios tipos de formas modulares y automórficas surgen como funciones de partición (si tengo las cosas claras) en varias teorías de cuerdas. En términos más matemáticos, ciertas funciones generadoras para contar curvas en varios tipos de superficies o tres pliegues (¿probablemente variedades de Calabi--Yau?) son/deberían ser formas modulares; pero estas funciones generadoras tienen su origen en ciertos cálculos de la teoría de cuerdas (creo que con la superficie/tres pliegues dados como fondo).

Así que las formas modulares son ciertamente importantes en la teoría de cuerdas.

Por dar algunos nombres ilustrativos: Jeff Harvey y Greg Moore son dos físicos que han trabajado/están trabajando en este tipo de ideas.

Si quieres saber más sobre esto, podrías hacer algo peor que buscar en Google los nombres de estos dos autores.

Answer 4

Para estudiar las aplicaciones de la teoría de los números en la física, véase TEORÍA DE LOS NÚMEROS EN FÍSICA por Matilde Marcolli .

También hay un sitio web llamado " Archivo de teoría de números y física " que es útil.

Por último, puede leer Ejemplos de aparición de la teoría de los números en la física pregunta en TP.SE.