Diferencia entre homotopy de equivalencia y homeomorphism - dimensionalidad

Question

(El más votado en respuesta a) Esta pregunta demuestra que los espacios de la misma dimensión, se puede homotopy equivalentes, pero no homeomórficos. En el otro lado de la "diferencia en la dimensión" todavía es una buena manera de diferenciar homotopies de homeomorphisms.

No estoy muy seguro de cómo formular mi pregunta precisamente, pero aquí va:

1. ¿Cuál es la esencia de la idea detrás de la contraejemplo en el primer respuesta a la liga pregunta? (Por favor, no digan $\mathsf{Y}$ es una deformación retirar de $\mathsf{X}$.)

2. De manera más general, ¿qué tipo de "topológico diferencias" puede homotopy equivalencias ignorar a excepción de la dimensión?

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Actualización: a la luz de Stefan Hamcke comentario "creo que la mayoría, si no todas las propiedades locales pueden ser ignoradas por homotopy equivalencias", creo que esta es la declaración que debería intentar y entender. Por lo tanto, estoy pidiendo por tan detallada como sea posible (aún no formal) de las explicaciones de esta frase. Además, desde homotopy equivalencias ignorar propiedades locales, ¿cómo llanura homotopies comportarse con ellos? Supongo que la misma no es cierto, pero ¿por qué?

Answer 1

1. La esencia de la contraejemplo "X homotopy equivalente a Y, pero X no homeomórficos a Y" es el siguiente. Considere la posibilidad de un espacio de $S$ que es homotopy equivalente a un punto, pero no es un punto, a continuación, adjuntar $S$ a anoter espacio de $R$, entonces usted va a conseguir (con algunas pocas excepciones) un espacio de $R'$ homotopy equivalente a $R$ pero no homeomórficos a $R$. (En el contraejemplo esta es la "cuarta etapa" adjunto Y con el fin de obtener X.) La fijación de procedimiento puede ser formalizada a través de la elección de dos puntos, uno en $S$ y una en $R$ y la identificación de ellos.

2. Así que una buena fuente de comprensión de qué tipos de propiedades de un espacio puede ser ignorado por homotopy equivalencias, se centrará en los espacios que son homotopy equivalente a los puntos, pero no son puntos. Dichos espacios de manera intuitiva se puede ser, aunque como espacios de retraer en uno de sus puntos. Para ejemplos de cualquier cono es homotopy equivalente a un punto. Un cono de un espacio de $X$ es el espacio obtenido por primera vez por tomar el producto $X\times [0,1]$ y, a continuación, mediante la identificación de $X\times\{1\}$ a un solo punto (el vértice del cono). Esto proporciona una gran clase de los espacios de los que se homotopy equivalente a los puntos. Tenga en cuenta que Y es el cono de tres puntos y X es el cono de cuatro puntos. Ambos son homotopy equivalente a un punto.

Propiedades que son invariantes bajo homotopy de equivalencia, de modo que se pueden distinguir dos no homotopy espacios equivalentes por medio de tales propiedades, son, por ejemplo los que vienen de todos los homotopy grupos (el grupo fundamental y otros). Este es el núcleo de la teoría de los invariantes en general.