¿Existe un operador autoadjunto cuyo espectro esté formado íntegramente por números primos?

Question

Los ceros de la función zeta canónica de Riemann se han comparado con los números primos, y tienen una serie de conexiones especiales y definidas. También se ha conjeturado que los infames ceros son el espectro de algún operador hermitiano, dadas ciertas similitudes distributivas que se han puesto de manifiesto con grandes cálculos informáticos. Así que me pregunto si existe un operador con números primos como valores propios.

Answer 1

Si $(a_n)_n$ es cualquier secuencia de números reales, entonces el operador $T:(x_n)_n\mapsto(a_nx_n)_n$ es un operador hermitiano definido en un subespacio denso de $\ell^2$ . Cada $a_n$ es un valor propio de $T$ y si $(a_n)_n$ es la secuencia de primos, entonces el espectro de $T$ es precisamente el conjunto de los primos. En términos más generales, el espectro de $T$ es el cierre de $\{a_n\}_n$ .

Por supuesto, este ejemplo no indica ninguna conexión entre la teoría de números y los operadores hermitianos.