Computación Kähler diferenciales en $\mathbb P^1_A$ (Lo que hizo Liu intención?)

Question

Deje $A$ ser un anillo y $X=\mathbb P^1_A$. En $D_+(T_0)\cap D_+(T_1)$, se han

$$T^2_0d(T_1/T_0)= -T^2_1d(T_0/T_1).$$

¿Cómo se hace formalmente calcular esta transición? Por supuesto, esto es intuitivamente obvio si uno piensa en formas diferenciales y $\mathbb P^1$ como un colector. Incluso es evidente intuitivamente al pensar algebraicamente, si se piensa en la intersección como "el lugar donde usted puede invertir $T_0$ $T_1$" y, a continuación, calcular $d\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_0}{T_1}\right)$.

(Recordemos que definimos $\mathbb P^1_A$$\operatorname{Proj} A[T_0,T_1]$. Podemos cubrir este con dos principales abierto subconjuntos $D_+(T_i)$, con secciones $A[T_0,T_1]_{(T_i)}$. Es relativamente un ejercicio para calcular que en estas "cartas" la gavilla de los diferenciales parece a $A[d(T_0/T_1)]$$A[d(T_1/T_2)]$. Los elementos anteriores son entonces los elementos de a $\mathcal O_X(2)\otimes \Omega^1_{X/A}$.)

El extracto de arriba aparece cuando Liu calcula la gavilla de las diferencias en el $\mathbb P_A^1$. Él hace esto por escrito las dos diferenciales en cada cuadro, señalando que el pegamento para una sección global, para luego destacar esta sección global es un generador. Para justificar lo anterior, me gustaría evitar hacer lo que Hartshorne, lo que es adivinar que $\Omega^1_{X/A}$ $\tilde{M}$ para un determinado módulo de $M$ y, a continuación, comprobar que es correcta.

También, Liu construcciones de esquemas proyectivos mediante la descripción de la gavilla $\mathcal O_X$ sobre el principal abierta conjuntos y, a continuación, citando el teorema de que esto es suficiente para determinar una gavilla. Creo que uno puede hacer la algebraicas intuición que he descrito anteriormente mediante una más explícita descripción de la gavilla (como el dado en Hartshorne), pero me gustaría evitar esto, también. Esto es claramente no en Liu estilo, y estoy muy curioso lo que él pretendía.

La actualización. Dicho de otra manera, mi pregunta es cómo derivar el encolado de los mapas de estas "cartas" con rigor y cómo mostrar cómo estos encolado de los mapas de transformar las diferencias en la forma esperada.

Answer 1

Para un pariente esquema de $X/S$ es bien sabido que el $\Omega^1_{X/S}$, la gavilla de los módulos de $X$ que clasifica $\mathcal{O}_S$-derivaciones en $\mathcal{O}_X$ (es decir, lo que viene equipado con un universales $\mathcal{O}_S$-derivación $d : \mathcal{O}_X \to \Omega^1_{X/S}$), que es cuasi-coherente y puede ser descrito de forma local en $S$$X$. Si $S=\mathrm{Spec}(R)$ $X=\mathrm{Spec}(A)$ son afines, a continuación, $\Omega^1_{X/S}$ está asociado a$\Omega^1_{A/R}$, $A$- módulo que clasifica $R$-derivaciones en $A$. También es bien conocido que el $\Omega^1_{R[t]/R}$ es libre de rango $1$ con generador de $d(t)$.

También tenemos que saber que $\Omega^1$ viajes con la localización. En particular, $\Omega^1_{R[t,t^{-1}]/R}$ es libre de rango $1$ con generador de $d(t)$; pero también con el generador de $d(t^{-1})$ (desde $R[t,t^{-1}]$ tiene un automorphism asignación de $t$$t^{-1}$). Por lo tanto, estos difieren en una unidad. Explícitamente, se calculan

$$0 = d(1) = d(t \cdot t^{-1}) = t \cdot d(t^{-1}) + t^{-1} \cdot d(t)$$

y por lo tanto

$$d(t) = -t^2 \cdot d(t^{-1}).$$

Ahora, la línea proyectiva $\mathbb{P}^1_R$ es cubierto por los dos afín a las líneas de $D_+(T_0) \cong \mathbb{A}^1_R$ variable $T_1/T_0$, e $D_+(T_1) \cong \mathbb{A}^1_R$ variable $T_0/T_1$. De ello se desprende que $\Omega^1_{\mathbb{P}^1_R/R}$ es libre de rango $1$ en ambos de estos, con los generadores $d(T_1/T_0)$ resp. $d(T_0/T_1)$. La intersección de los dos afín a las líneas del espectro de la localización de la $R[T_0/T_1,T_1/T_0]$. De ello se desprende que $\Omega^1_{\mathbb{P}^1_R/R}$ también es gratis en esta intersección, con generador de $d(T_0/T_1)$, así como el generador de $d(T_1/T_0)$. He elegido la misma notación como en el anterior, debido a que estas son realmente las restricciones de los generadores en el afín a las líneas, por la construcción de los involucrados isomorphisms. En la intersección, es decir, en $\Omega^1_{\mathbb{P}^1_R/R}|_{D_+(T_0) \cap D_+(T_1)}$, o lo que es equivalente en $\Omega^1_{R[T_0/T_1,T_1/T_0]/R}$, hemos establecido anteriormente que

$$d(T_1/T_0)=-(T_1/T_0)^2 d(T_0/T_1).$$

Esta es una descripción completa de $\Omega^1_{\mathbb{P}^1}$. Por cierto, este cálculo no muestra nada más que $\Omega^1_{\mathbb{P}^1}=\mathcal{O}(-2)$. Más generalmente, se puede mostrar $\Omega^d_{\mathbb{P}^d} = \mathcal{O}(-d-1)$.