Pregunta 1 : En las EDP numéricas no es necesario cumplir el requisito del lema de Lax-Milgram. La coercitividad significa básicamente que el problema que tienes es invertible. Hay una versión más débil de la coercibilidad que se llama condición inf-sup de Babuska-Brezzi, es para la formulación mixta del MEF. Otra se llama alternativa de Fredholm, es cuando tanto la coercitividad como la condición inf-sup fallan. Aunque dudo que lo que necesites sean estas en este momento. En tu caso, quieres entregar un problema de MEF bien planteado para la condición de contorno de Robin, el lema de Lax-Milgram tiene que ser satisfecho.
Pregunta 2 :
(1) Para el problema de valor límite de Dirichlet. En el espacio continuo, digamos que si $-\Delta u= f$ en $\Omega$ , $u|_{\partial \Omega}=g$ . Podríamos escribir $u= u_0 + u_g$ , donde $-\Delta u_0= f$ en $\Omega$ , $u_0|_{\partial \Omega}=0$ y $-\Delta u_g= 0$ en $\Omega$ , $u_g|_{\partial \Omega}=g$ . En el problema variacional, la función de prueba se elige como 0 en la frontera, si resolvemos $$ (\nabla u,\nabla v) = (f,v) $$ para cualquier $v\in H^1_0$ lo que obtenemos es $u_0$ . No sabemos cómo es la frontera al resolver el problema variacional porque la función de prueba $v$ es siempre 0 allí. Sin embargo, sabemos cuál es el $u$ El valor está en el límite, así que estamos bien aquí.
En elementos finitos, forzamos el valor de la solución del MEF $u_h\in V_h$ en los nodos de la frontera para que sea igual al valor exacto de los datos de la frontera. La función de prueba $v$ se elige para que sea cero en la frontera, es decir, $v\in V_h\cap H^1_0$ para la ecuación de Poisson. Las condiciones del lema de Lax-Milgram se satisfacen tanto para $H^1_0$ y $V_h \cap H^1_0$ . El problema está bien planteado.
Para responder a tu pregunta, no ponemos ninguna restricción en los nodos interiores (o digamos grados de libertad asociados a los nodos interiores), simplemente resolvemos el problema variacional estableciendo la función de prueba $v=0$ en la frontera. Lo que obtenemos es la aproximación de elementos finitos $u_{0,h}$ a $u_0$ . Entonces dejamos que $u_{g,h}(V) = g(V)$ para cualquier nodo límite $V$ y $u_{g,h}(V')=0$ para todos los nodos interiores $V'$ Esta es la versión discreta $u_g$ . Las ecuaciones que satisfacen son: $$ (\nabla u_{0,h},\nabla v) = (f,v)\quad \forall v\in V_h\cap H^1_0, \text{ and } u_{0,h}|_{\partial \Omega} = 0 $$
$$ (\nabla u_{g,h},\nabla v) = 0\quad \forall v\in V_h\cap H^1_0, \text{ and } u_{g,h}|_{\partial \Omega} = \Pi_h g $$ donde $\Pi_h g$ es la interpolación de $g$ en la frontera que se define imponiendo el valor nodal como acabamos de hacer. Y su solución final de elementos finitos es $u_h = u_{0,h} + u_{g,h}$ .
(2) Para el problema de frontera de Neumann puro, la solución es única hasta una constante, tenemos que considerar el problema en un espacio ligeramente diferente: $\{v\in H^1: \displaystyle \int_{\Omega} v = 0\} = H^1/\mathbb{R}$ . Gracias a Desigualdad de Poincare se vuelven a cumplir las condiciones del lema de Lax-Milgram. Para el problema de MEF, no forzamos ninguna condición de contorno para la función de prueba, sino que nos limitamos a resolver la ecuación variacional (al resolver el sistema lineal, hay varias formas de tratar el módulo de la parte constante). En este sentido, decimos que la condición de contorno de Neumann se satisface "débilmente".
Última pregunta :
Ahora para la condición de contorno de Robin, digamos que su ecuación es: $$ -\Delta u = f \quad \text{in } \Omega $$ con la condición de límite Robin para todos los límites $\partial \Omega$ : $$ \alpha u +\frac{\partial u}{\partial n} = g $$ donde $\alpha$ es una constante positiva ( $\alpha$ tiene que ser positivo a.e. en la frontera), y $\partial u/\partial n = \nabla u\cdot n$ es la derivada normal en el límite. Multiplicar la ecuación por una función de prueba $v\in H^1$ , $$ -\int_{\Omega} \Delta u\,v = \int_{\Omega} fv $$ y realizar la integración por partes: $$\int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla v - \int_{\partial \Omega}(\nabla u\cdot n )v= \int_{\Omega} fv $$ introduzca los datos del límite de Robin: $$\int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla v - \int_{\partial \Omega}(g-\alpha u)v= \int_{\Omega} fv $$ Reacomodar: $$\int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla v + \int_{\partial \Omega}\alpha u v= \int_{\Omega} fv + \int_{\partial \Omega}gv $$ El lado izquierdo $a(u,v) = \displaystyle \int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla v + \int_{\partial \Omega}\alpha u v$ El lado derecho es el $L(v)$ . La prueba de las continuidades del lado derecho y del primer término en $a(u,v)$ es natural, simplemente siguiendo la prueba para los problemas de frontera de Dirichlet y Neumann. Para el segundo término de la izquierda queremos utilizar la desigualdad de la traza: $$ \int_{\partial \Omega}\alpha u v \leq \alpha \|u\|_{L^2(\partial \Omega)} \|v\|_{L^2(\partial \Omega)} \leq C \alpha \|u\|_{H^1(\Omega)} \|v\|_{H^1(\Omega)} $$ así $a(u,v) \leq C \|u\|_{H^1(\Omega)} \|v\|_{H^1(\Omega)}$ .
La coercitividad de $a(u,v)$ es un poco más difícil de probar. La forma que aprendí en la clase de MEF es mediante lo que se llama "argumento de compacidad". El truco consiste en utilizar la prueba por contradicción: Supongamos que $a(u,v)$ no es coercitivo, entonces (aquí viene el argumento de la compacidad) existe una secuencia $\{v_n\}\subset H^1$ tal que..: $$ \|v_n\|_{H^1(\Omega)} = 1, \text{ and } a(v_n,v_n) \to 0.\tag{1} $$ Ahora bien, como $\{v_n\}$ es una secuencia acotada en $H^1$ (considere la distancia inducida por el $H^1$ -), entonces existe una subsecuencia débilmente convergente $v_{n_j}\to v$ en $H^1$ y $v_{n_j}\to v$ en $L^2$ -norma (gracias usuario33869 por señalar mi error anterior). La convergencia débil es: $$ \int_{\Omega}(v-v_{n_j})w + \int_{\Omega}\nabla(v-v_{n_j})\cdot \nabla w \to 0, \; \text{ for all } w\in H^1(\Omega). $$ Esto implica que: $$ \int_{\Omega} |\nabla v|^2 = \lim_{j\to \infty}\int_{\Omega} \nabla v_{n_j}\cdot \nabla v \leq \lim_{j\to \infty}\left( \int_{\Omega} |\nabla v_{n_j}|^2 \right)^{1/2} \left(\int_{\Omega} |\nabla v |^2\right)^{1/2} $$ Esto es $$ |v|_{H^1(\Omega)} \leq \lim_{j\to \infty} |v_{n_j}|_{H^1(\Omega)}\tag{2} $$ Usando otra suposición ahora $$ a(v_n,v_n) = \int_{\Omega} |\nabla v_n|^2 + \int_{\partial \Omega}\alpha v_n^2 \to 0 \tag{3} $$ Esto implica que $\displaystyle\int_{\Omega} |\nabla v_n|^2 \to 0$ . Por (2), dejando que $n_j\to \infty$ produce $\displaystyle\int_{\Omega} |\nabla v|^2 = 0$ . Ahora tenemos $ \|v\|_{H^1(\Omega)}=\|v\|_{L^2(\Omega)}$ .
Ahora usando $v_{n_j}\to v$ en $L^2$ -norma, junto con (3), $\|v\|_{L^2(\Omega)} = \lim\limits_{j\to \infty} \|v_{n_j}\|_{L^2(\Omega)}=1$
El $L^2$ -norma del gradiente de $v$ que es cero implica $v$ es una constante, El $L^2$ -norma de $v$ siendo 1 implica $v=c$ donde la constante $c\neq 0$ . Sin embargo, de nuevo por (3): $$ \int_{\partial \Omega}\alpha v^2 = \lim_{n\to \infty}\int_{\partial \Omega}\alpha v_{n_j}^2 = 0 $$ junto con la hipótesis de positividad de $\alpha$ , esto dice $v=0$ en $\partial \Omega$ . Constradición.
Por lo tanto, no existe tal secuencia que satisfaga (1). La negación de la afirmación (1) es: Para toda secuencia en $H^1(\Omega)$ , si $\|v_n \|_{H^1(\Omega)}$ está acotado, $a(v_n,v_n)$ siempre está acotada lejos de 0. Esto se puede traducir a cualquier función $v$ en $H^1$ ya que siempre podemos encontrar una secuencia acotada que vaya a $v$ por la completitud de un espacio de Hilbert. Así se demuestra la coercibilidad.
