límite de $\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots (2n)}}$ el uso de la media geométrica de

Question

Cómo encontrar a esta pregunta utilizando la Media Geométrica? $$\sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots (2n)}}$$ Gracias!

Answer 1

Si $x_n$ es positivo y converge a $x> 0$, luego $$ \sqrt[n]{x_1,\cdots x_n}=\exp\left(\frac{\log x_1+\ldots+\log x_n}{n} \right)\longrightarrow \exp(\log x)=x $$ por Cesaro (http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation) y la continuidad de la $\log$$\exp$.

Ahora tome $$ x_n=\frac{2n-1}{2n}\longrightarrow 1. $$

Esto demuestra que su secuencia $$\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$$ converge a $1$.

Answer 2

$(\frac1n(\sum_{k=1}^n1+\frac1{2k-1}))^{-1}\leq (\prod_{k=1}^n(1-\frac1{2k}))^{\frac1n}\leq \frac1n(\sum_{k=1}^n1-\frac1{2k})$

Esta es la Aritmética geométrica, media armónica de la desigualdad. Ahora, por el teorema del sándwich se puede obtener el resultado.

Answer 3

El producto en sí es una media geométrica.

\[ \sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot a \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot a \cdot (2n)}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/n} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1/n} \dots \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{1/n}\]

El factor se aproxima el mismo número:

\[ \frac{2n-1}{2n} = 1 - \frac{1}{2n} \1\]

Si usted toma la media geométrica de 1 , 1 y ... 1, ¿cómo debe ser la respuesta?

Answer 4

Si el grupo de los factores dentro de la $\sqrt[n]{\cdots}$ correctamente, podrás ver:

$$\sqrt[n]{\frac{1}{2n}} \le \sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots (2n)}} \le 1$$

Desde $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2n}} = 1$, su secuencia también converge a $1$.