Simplificando $\frac{\;\frac{x}{1-x}+\frac{1+x}{x}\;}{\frac{1-x}{x}+\frac{x}{1+x}}$

Question

$$\frac{\;\;\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{1+x}{x}\;\;}{\dfrac{1-x}{x}+\dfrac{x}{1+x}}$$

Puedo simplificar esto usando la manera lenta ---sumando el numerador y el denominador, y luego dividiendo--- pero mi profesor me dijo que hay otra manera. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Multiplica el numerador y el denominador por $x(1+x)(1-x)$ . Esto elimina todos los denominadores "internos", dejando $${xx(1+x)+(1+x)(1+x)(1-x)\over (1-x)(1-x)(1+x)+xx(1-x)}={(1+x)\over (1-x)}{x^2+1-x^2\over x^2+1-x^2}={1+x\over 1-x}.$$

Answer 2

Multiplica el numerador y el denominador por $x(1-x)(1+x)$ y luego utilizar el hecho de que $(1-x)(1+x)=1-x^2$ para ver que

\begin{align} \frac{\;\;\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{1+x}{x}\;\;}{\dfrac{1-x}{x}+\dfrac{x}{1+x}}&=\left(\frac{\;\;\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{1+x}{x}\;\;}{\dfrac{1-x}{x}+\dfrac{x}{1+x}}\right)\frac{x(1-x)(1+x)}{x(1-x)(1+x)} \\&=\left(\frac{x^2+(1+x)(1-x)}{(1-x)(1+x)+x^2}\right)\frac{1+x}{1-x} \\&=\left(\frac{1}{1}\right)\frac{1+x}{1-x} \\&=\frac{1+x}{1-x}. \end{align}

Answer 3

Si se observa que la expresión, que es de la forma $$\cfrac{a+b}{\frac 1a +\frac 1b}$$ se simplifica fácilmente a $ab$ (multiplicar por $\frac {ab}{ab}$ ) puedes evitar un montón de álgebra potencialmente confusa/que induce a errores, y obtener fácilmente el resultado que otros han dado.

A veces es útil identificar la forma de una expresión y simplificarla, sobre todo cuando parece que puede resultar confusa. A veces es una distracción, pero aquí sería un intento rápido y podrías volver a un enfoque más práctico si no funciona.

Answer 4

Déjame intentarlo.

$$\frac{\frac{x}{1-x}+\frac{1+x}{x}}{\frac{1-x}{x}+\frac{x}{1+x}} = \frac{\frac{1}{1-x}-1 + \frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x}-1 + 1-\frac{1}{1+x}} = \frac{\frac{1}{1-x} + \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}} = \frac{\frac{1}{x(1-x)}}{\frac{1}{x(1+x)}} = \frac{1+x}{1-x}$$