¿Por qué es intercambiar el orden de límites en esta situación equivalente a pedir la continuidad?

Question

El siguiente es un extracto de Rudin del libro en el análisis matemático. Aquí dice:

La parte resaltada en rojo es el que me parece que no puede envolver mi cabeza alrededor. Pensé que si queríamos saber si el límite, decir $f$, de una secuencia de funciones, es decir $f_n$, es continua o no, a continuación, que acaba de necesidad: $$\lim_{t\to x} (\lim_{n \to \infty}f_n(t)) = f(x)$$

I. e. sólo que el límite de funciones $f_n$, que se presume $f$, es continua por definición. Así que no entiendo el lado derecho de la ecuación en rojo. Puede alguien explicar esto?

Answer 1

Para hacer, si $f$, dado por $f(t) := \lim_n f_n(t)$ por cada $t$, es continua en a $x$, se está preguntando si $$ \tag 1 \lim_{t\to x} f(t) = f(x) $$ Ahora, vamos a enchufe en la definición de $f$ como el límite de la $f_n$ en ambos lados de (1). Tenemos (como $f(x) = \lim_n f_n(x)$ $f(t) = \lim_n f_n(t)$ espera), que $$ \tag 2 \lim_{t\to x} \lim_n f_n(t) = \lim_n f_n(x) $$ Como el $f_n$ son continuos, por supuesto, se puede escribir $f_n(x) = \lim_{t\to x} f_n(t)$ en (2), que nos da $$ \tag 3 \lim_{t\to x} \lim_n f_n(t) = \lim_n \lim_{t\to x} f_n(t) $$ que es Rudin roja de la fórmula.

Answer 2

Desde cada una de las $f_n$ es continua, $\lim\limits_{t \to x}f_n(t)=f_n(x).$, Por definición de la función de límite de (utilizados en la última igualdad por venir), $\lim\limits_{n \to \infty} \lim\limits_{t \to x} f_n(t)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)=f(x)$.