¿Existen perfectos polinomios de grado $4$?

Question

Hice esta pregunta ya, pero no puedo encontrarlo. Si es un duplicado, Voy a eliminar.

Existe un polinomio

$$p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$$

tales que p y todos los derivados hasta el tercer todos tienen el máximo número posible de entero simple raíces.

En otras palabras, los polinomios puede ser escrita de la siguiente manera :

$p(x)=(x-e)(x-f)(x-g)(x-h)$ con distintos números enteros $e,f,g,h$

$p'(x)=4(x-i)(x-j)(x-k)$ con distintos números enteros $i,j,k$

$p''(x)=12(x-l)(x-m)$ con distintos números enteros $l,m$

y, finalmente,

$p'''(x)=24(x-n)$ con el entero n.

Suponemos que no hay tal polinomio existe, pero no tengo idea de cómo demostrarlo. Yo llame a tales polinomios perfecto polinomios ( con suerte, no hay ningún otro significado de perfecto polinomios, de lo contrario "ideal de polinomios"). No son perfectos polinomios de grado 3.

Answer 1

Esto está abierto: http://www.openproblemgarden.org/op/quartic_rationally_derived_polynomials

Después de mirar algunos de los documentos pertinentes, esto parece ser un problema extremadamente difícil. Por ejemplo, la clasificación completa de la cúbicas con esta propiedad requiere la teoría de curvas elípticas.

Tenga en cuenta que si permitimos que dos de las raíces de la $p$ a coincidir, ejemplos existen, como $X^2(X-308)(X-360)$. De acuerdo a un artículo de Buchholz y Kelly, de clases de equivalencia de tales polinomios son parametrizadas por una cierta curva elíptica.