De fondo
Ejercicio 2.1.16 b en Hartshorne (tarea!) te pide demostrar que si $0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0$ es una secuencia exacta de las poleas, y F es flasque, luego $0 \rightarrow F(U) \rightarrow G(U) \rightarrow H(U) \rightarrow 0$ es exacto para cualquier conjunto abierto de $U$. Mi solución a este involucrado el axioma de elección (lo que parece ser) de una manera esencial.
Esencialmente, usted está pidiendo a $G(U) \rightarrow H(U)$ a ser surjective cuando sólo se sabe que $G \rightarrow H$ es localmente surjective. Normalmente, usted no podría ser capaz de pegar el local preimages de secciones en $H(U)$ juntos en un apartado de $G(U)$, pero ya que $F$ es flasque, puede ampliar la diferencia en los traslapos a una sección global. Esta observación se ocupa de la pegadura de un número finito de local preimages juntos. El lema de Zorn entra en mostrar que en realidad se puede pegamento cosas juntos, incluso si la cubierta está abierta de $U$ es infinito.
Ahora, realmente no los he estudiado gavilla cohomology, pero la idea que tengo es que detecta el fallo de la global secciones functor a ser derecho exacta. Así que si usted no puede incluso mostrar gavilla cohomology se desvanece para flasque poleas sin el axioma de elección, parece como un montón de la maquinaria de cohomology iba a salir por la ventana.
Ahora, justo en el conjunto teórico de nivel, parece que hay algo interesante por aquí. Esencialmente, el axioma de elección es un local-global (aunque nunca había pensado en ello de esta manera antes de que este problema), es decir, que si $f:X \rightarrow$ Y es un surjection usted puede encontrar una manera de cola de la preimages $f^{-1}(\{y\})$ de un surjection juntos para formar una sección del mapa de $f$.
Esto me lleva a mi
Preguntas
Puede el mencionado ejercicio en Hartshorne ser probado sin el axioma de elección?
Cuánto homológica de la maquinaria depende de la elección?
Tiene alguna inversa matemáticos echado un vistazo a gavilla cohomology como un tema a ser "deconstruido"?
Tiene alguna constructivo conjunto de los teóricos de pensamiento acerca del uso de cohomological tecnología para hablar acerca de la medida en que la elección de falla en su marca de intuitionistic la teoría de conjuntos? (parece como topos modelos de tales teorías pueden hacer que la conexión a las poleas y sus cohomology muy fuerte!)
Mi google-fu es muy débil, pero busca "revertir las matemáticas cohomology" no parece aportar nada.
