así

Question

Que $G$ es un grupo y $H<G$ tal que $|G-H|<\infty$. Demostrar que $|G|<\infty$.

La verdad es una sugerencia para:

$H$ no puede ser un subgrupo infinito.

Está claro si $|H|<\infty$, desde $|G-H|<\infty$ $|G|<\infty$ y el problema se resolverá a continuación. Pero no entiendo por qué "$H$ no puede ser un subgrupo infinito". Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Asumimos que $H\neq G$ (si no toma $G$ infinita para obtener un contraejemplo). Que $x_0\in G\setminus H$. Entonces $x_0 H\cap H=\emptyset$ $H$ es un subgrupo, y puesto que $|G\setminus H|$ es finito, así que es $x_0 H$ (como el mapa $a\mapsto x_0 a$ es una biyección). Deducimos que $H$ es finito.

Answer 2

O $|G-H|= 0$ o existe un elemento $g \in G-H$. En el primer caso está claro que $G=H$ y esto permitiría $G$ a ser infinitos. Y en el segundo: Supongamos que H no era finito. Entonces $gH\cap H = \{1\}$ y por lo tanto sería infinito contrario a su suposición $gH-\{1\} \subseteq G-H$. Por lo tanto, $H$ es finito.

$H$ Ser finito y $G-H$ siendo finitos que podemos concluir que el $G$ es también finito.