$L^2$ Límites para cadenas de Markov.

Question

Consideremos un estocástico cuadrado no negativo $n \times n$ matriz $P$ (las filas suman uno, $P$ es ergódica).

Nos interesa caracterizar el conjunto de $n \times n$ matrices invertibles $A$ tal que tenemos:

$\| APA^{-1} \|_2 \leq 1$

Aquí $ \| \cdot \|_2$ es una norma matricial inducida por la norma vectorial $L_2$ .

Un ejemplo es $\operatorname{diag}(\xi)^{1/2}$ donde $\xi$ es el vector que representa la distribución estacionaria y $\operatorname{diag}$ es un operador que construye una matriz diagonal con ceros fuera de la diagonal.

Estoy interesado en una regla que defina todas (o al menos una gran clase) de opciones válidas para $A$ .

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero puede ser útil de todos modos, ya que aclara, que una respuesta depende de las propiedades de $P$ sí mismo.

La norma matricial inducida de la $L_2$ -es la norma espectral, que es el valor singular máximo de la matriz considerada, por lo que para averiguar algo sobre $||APA^{-1}||_2$ deberíamos mirar

$$(A^{-1})^TP^TA^TAPA^{-1} \, .$$

Si $A$ es ortogonal, por lo que $A^{-1} \, = \, A^T$ esta expresión se simplifica en

$$ AP^TPA^{-1} \, ,$$

mientras que si $A$ conmuta con $P$ Así que $AP \, = \, PA$ se simplifica en

$$ P^TP \, .$$

Por lo tanto, como $P^TP$ y $AP^TPA^{-1}$ tienen el mismo espectro, tenemos que averiguar algo sobre el valor propio de Perron de $P^TP$ dado $P$ es estocástica.

A estas alturas, la bonita respuesta del usuario1551 (mi propia respuesta fue realmente torpe comparada con esa) a tu pregunta

Caracterizar matrices estocásticas tales que el valor singular máximo sea menor o igual que uno.

da

$$||APA^{-1}||_2 \ \geq \ 1$$

para la fila estocástica $P$ y ortogonales o conmutativas $A$ y

$$||APA^{-1}||_2 \ = \ 1 \, ,$$

sólo si $P$ es doblemente estocástica. Aun así, dejo aquí mi ejemplo:

Si $P$ es estocástica, $P^T$ es estocástico en columna, lo que implica que $P$ y $P^TP$ tienen las mismas sumas de columna, porque cualquier matriz, que es estocástica de columna, preserva la suma componente de cualquier vector multiplicado con ella por la derecha.

Por lo tanto, si $P$ es doblemente estocástica, $P^TP$ también es doblemente estocástica y las matrices o matrices ortogonales, que conmutan con $P$ están incluidas en la clase de matrices que buscas en este caso.

Si $P$ no es doblemente estocástica, existe al menos una suma de columnas mayor que $1$ mientras que las sumas de las columnas suman $n$ . Esto implica siempre el valor propio de Perron de $P^TP$ sea mayor que $1$ , ver la respuesta del usuario1551 mencionada anteriormente, ejemplo:

\begin{equation} \mathbf{P} \ := \ \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \fin

\begin{equation} \mathbf{P^TP} \ := \ \begin{pmatrix} \frac{10}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{10}{9} \end{pmatrix} \fin

El valor propio de Perron de $P^TP$ es $ \frac{\sqrt{3}+2}{3} \, > \, 1$ por lo que ninguna matriz conmuta con $A$ o cualquier matriz ortogonal está contenida en la clase buscada para la matriz $P$ .

Answer 2

@ ziutek , una matriz estocástica no necesariamente admitir una distribución estacionaria. cf. a continuación.

Tenga en cuenta que $||APA^{-1}||_2=\sqrt{\rho (MM^T)}=\max_i \sigma_i$ donde $M=APA^{-1}$ $(\sigma_i)_i$ son los valores singulares de a $M$ en orden decreciente. Por otra parte $\rho(M)=\rho(P)=1$ e (es cierto para cada matriz) $\sigma_1\geq \rho(M)$. Por lo tanto la pregunta es: "encontrar a $A$ s.t. $||M||_2=\rho(M)$".

En este archivo $\| AB\|_\square \leq 1$ implica $\| BA\|_\triangle \leq 1$ , el resultado siguiente se muestra:

Prop. (user1551): hay un sub-mult. norma $||.||$ s.t. $ρ(U)=||U||$ iff los autovalores de a $U$ de la máxima módulo son semi-simple.

Necesariamente, los autovalores de a $P$ de módulo de $1$ debe ser semi-simple. Ese es el caso cuando se $P$ es irreductible (porque son simples) que vamos a asumir en la secuela (que no implica que una distribución estacionaria existe !). Podemos suponer que la $P=diag(T,N)$ donde $\rho(T)<1$ $N^h=I$ donde $h$ es el período de $P$. Tome $A=diag(B,C)$ $B$ como en la prueba anteriormente citada; a continuación,$||APA^{-1}||_2=||CNC^{-1}||_2$, y la condición es $||CNC^{-1}||_2=1$. Creo que DEBEMOS elegir entre la $C$ como sigue: $C=RS$, una VERDADERA matriz s.t. $S$ (una matriz compleja) diagonalizes $N$ $R$ es unitaria.

EDIT: UN error. Lo que yo quería decir es que una distribución estacionaria no es necesariamente un límite de distribución.