Encontrando $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\int_0^1(f(x))^n\,\mathrm dx\right)^\frac{1}{n}$ para la continuidad $f:[0,1]\to[0,\infty)$

Question

Encuentre $$\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\int_0^1(f(x))^n\,\mathrm dx\right)^\frac{1}{n}$$ si $f:[0,1]\rightarrow(0,\infty)$ es una función continua.

Mi intento:

Diga $f(x)$ tiene un valor máximo $M$ . Entonces $$\left(\int_0^1(f(x))^ndx\right)^\frac{1}{n}\leq\left(\int_0^1M^ndx\right)^\frac{1}{n} =M$$

No sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Dejemos que $M$ sea como el anterior, tenga en cuenta que $M>0$ por suposición. Elija $\epsilon>0$ y que $E_\epsilon = \{x | f(x) >M-\epsilon \}$ . Desde $f$ es continua, tenemos $m E_\epsilon >0$ y así $M \ge \left(\int_0^1(f(x))^ndx\right)^\frac{1}{n} \ge (M-\epsilon) \ (m E_\epsilon)^{\frac{1}{n}}$ . Por lo tanto, $\liminf_n \left(\int_0^1(f(x))^ndx\right)^\frac{1}{n} \ge M-\epsilon$ . Desde $\epsilon$ era arbitraria, tenemos $\liminf_n \left(\int_0^1(f(x))^ndx\right)^\frac{1}{n} \ge M$ de lo que se deduce que $\lim_n \left(\int_0^1(f(x))^ndx\right)^\frac{1}{n} = M = \max_{x \in [0,1]} f(x)$ .