Isomorfismos de espacios de producto interno

Question

Creo que entiendo por qué todos los espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{K}$ son isomorfas a $\mathbb{K}^n$ . Cualquier mapa lineal $T: V \rightarrow W$ entre espacios vectoriales de dimensión finita llevando una base a otra base es automáticamente un isomorfismo, por linealidad. (c.f. este bonito post .)

Pero me desconcierta lo siguiente.

Por un lado, hay $\mathbb{R}^n$ con base estándar $\{e_i\}_{i=1}^n$ y el producto interno euclidiano natural $$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$$

Por otro lado, hay $P_n([-1,1])$ el espacio de los polinomios reales en $[-1,1]$ de grado inferior a $n$ , con la base obvia $\{1,x,x^2,...,x^{n-1}\}$ y el $L^2$ producto interior $$\langle p,q\rangle = \int_{-1}^{-1} p(x)q(x)dx$$

Ambos son espacios de Hilbert. La base dada para el primero es ortonormal; el segundo no lo es (pero podemos aplicar Gram-Schmidt para construir los polinomios de Legendre, que sí lo son).

Esto me parece algo extraño: el $L^2$ parece la generalización más directa del producto interno euclidiano a los espacios de funciones, y la base de monomios parece la base más natural de $P_n$ correspondiente a la base estándar en $\mathbb{R}^n$ . Los polinomios de Legendre, por el contrario, parecen extraños y complicados. Los espacios vectoriales son obviamente isomorfos: dada cualquier base de cada uno, podemos construir fácilmente un isomorfismo $T$ mapeando cada base a la otra. Pero en el ejemplo anterior, la ortonormalidad no se conserva.

Si quiero mantener la ortonormalidad, parece que tengo que elegir: si quiero la $L^2$ producto interno en $P_n([-1,1])$ Tengo que hacer un mapa $\{e_i\}_{i=1}^n$ a los polinomios de Legendre. Si quiero la base de monomios $\{1,x,x^2,...,x^{n-1}\}$ Tengo que elegir un producto interno diferente. No puedo tener mi pastel y comerlo también. (Y ni siquiera sé si un producto interno en $P_n$ existe para la cual la base de monomios es ortonormal).

Esto me lleva a varias preguntas.

• Para espacios vectoriales finitos e isomorfos V y W, ¿cuántos isomorfismos existen?
• ¿Cuántos productos internos distintos puede haber?
• ¿Existe aquí algún tipo de correspondencia "natural" entre isomorfismos y pares de productos internos? (Esto fue sólo una confusión por mi parte).
• Supongamos que especifico un producto interno y una base ortonormal para $V$ y lo relaciono con una base para $W$ . ¿Existe un producto interno en $W$ tal que esta última base es ortonormal en $W$ ? En términos más generales, ¿existe un producto interno en $W$ que actúa igual en $W$ como producto interno en $V$ actúa sobre $V$ ?

Tengo la sensación de que estoy confundido en algunas cosas fundamentales.

Answer 1

1. Si dos espacios vectoriales $V$ y $W$ son isomorfos, hay tantos isomorfismos $V\to W$ como automorfismos de $W$ . De hecho, es $Iso(V,W)$ es el conjunto de isomorfismos $V\to W$ , $Aut(W)$ es el conjunto de todos los automorfismos de $W$ y $f_0\in Iso(V,W)$ es cualquier isomorfismo, la función $$a\in Aut(W)\mapsto a\circ f_0\in Iso(V,W)$$ es una biyección. Se deduce que hay tantos isomorfismos de $V$ a $W$ ya que hay automorfismos de $W$ . Un argumento similar muestra que hay tantos isomorfismos como automorfismos de $V$ También.

2. Dejemos que $\langle\mathord-,\mathord-\rangle_0$ sea un producto interno sobre un espacio vectorial $V$ ., y dejar como antes $Aut(V)$ sea el conjunto de todos los automorfismos de $V$ y que $Inn(V)$ sea el conjunto de todos los productos internos sobre $V$ . Entonces, para cada $f\in Aut(V)$ existe un producto interno $\langle\mathord-,\mathord-\rangle_f$ en $V$ tal que para todo $v,w\in V$ tenemos $$\langle v,w\rangle_f=\langle f(u),f(w)\rangle_0,$$ y la función $$f\in Aut(V)\mapsto \langle\mathord-,\mathord-\rangle_f\in Inn(V)$$ es suryectiva; de esta manera obtenemos una descripción de todos los productos internos sobre $V$ . Sin embargo, no es inyectiva.

   En efecto, dos automorfismos $f$ , $g\in Aut(V)$ tienen la misma imagen, por lo que $\langle f(v),f(w)\rangle_0=\langle g(v),f(w)\rangle_0$ para todos $v$ , $w\in V$ si y sólo si la composición $f\circ g^{-1}$ conserva el producto interior original $\langle\mathord-,\mathord-\rangle_0$ en el sentido de que $$\langle (f\circ g^{-1})(v),(f\circ g^{-1})(w)\rangle_0=\langle v,w\rangle_0$$ para todos $v$ , $w\in V$ .

3. Supongamos que $V$ es un espacio vectorial con un producto interno $\langle\mathord-,\mathord-\rangle$ y que $W$ es un espacio vectorial. Supongamos, además, que $f:W\to V$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Entonces podemos definir un nuevo producto interno $\langle\mathord-,\mathord-\rangle'$ , ahora en $W$ , de modo que para todo $v$ , $w\in W$ tenemos $$\langle v,w\rangle'=\langle f(v),f(w)\rangle.$$ Con respecto a los productos internos en $V$ y en $W$ que tenemos ahora, el mapa $f$ es un isomorfismo de espacios de producto interno.

   Esto responde a su cuarta pregunta.

4. No entiendo su tercera pregunta :-)

Answer 2

Unas cuantas observaciones bastante sencillas deberían resolver la mayoría de las dudas.

• Un espacio de producto interno de dimensión finita siempre tiene al menos una base ortonormal.
• Un mapa lineal $V\to W$ entre dos espacios de producto interno de dimensión finita es un isomorfismo de espacios de producto interno si y sólo si la imagen de una (cierta base fija) ortonómica de $V$ es una base ortonormal de $W$ .
• Si $V$ es un espacio vectorial real de dimensión $n$ y $\def\B{\mathcal B}\B$ una base de $V$ entonces existe un producto interno único en $V$ para la cual esta base es ortonormal. (Esto responde a su última pregunta) Con $f_\B:V\to \Bbb R^n$ el mapa que envía un vector $v$ a sus coordenadas en $\mathcal B$ este producto interno se obtiene a partir del transporte por estructura a través de $f_\B$ En otras palabras $\langle v,w\rangle_V=\langle f_\B(v),f_\B(w)\rangle_{\Bbb R^n}$ por definición. (Por el punto anterior aplicado a $f_\B^{-1}$ la base $\mathcal B$ es ortonormal si y sólo si $f_\B$ es un isomorfismo de los espacios del producto interior, y la ecuación utilizada como definición afirma precisamente eso).

Así que hasta el isomorfismo $\Bbb R^n$ con el producto interior estándar es el único $n$ -espacio de producto interno. Para dos espacios de producto interno $V,W$ de dimensión $n$ hay tantos isomorfismos de espacios de producto interno como bases ortonómicas en $W$ (o en $V$ ); el conjunto también está en biyección con el conjunto de automorfismos del espacio del producto interior estándar $\Bbb R^n$ que es el grupo ortogonal $O_n(\Bbb R)$ . En un espacio determinado $V$ hay tantos diferentes (aunque isomórficos) productos internos como hay cosets en $O_n(\Bbb R)\backslash GL_n(\Bbb R)$ . (Tanto los conjuntos de isomorfismos como de productos internos diferentes son infinitos en general, por lo que "tantos" debe interpretarse como " naturalmente en biyección con"). Explicación de esta última correspondencia: fijar $\B$ el mapa de coordenadas $V\to \Bbb R^n$ correspondiente a cualquier base de $V$ es de la forma $g\circ f_\B$ para algunos $g\in GL_n(\Bbb R)$ , $V$ y $g_1,g_2\in GL_n(\Bbb R)$ definen el mismo producto interno si la base estándar de $\Bbb R^n$ transportado a $V$ por $(g_1\circ f_\B)^{-1}$ y luego volver a $\Bbb R^n$ por $g_1\circ f_\B$ dan una base ortonormal, lo que significa que $g_2\circ g_1^{-1}\in O_n(\Bbb R)$ de $g_2\in O_n(\Bbb R)g_1$ . El conjunto de productos internos en $\Bbb R^n$ también está en biyección con el conjunto de las simétricas positivas definidas $n\times n$ matrices.