Elipse en coordenadas polares

Question

Creo que la ecuación elíptica de coordenadas polares en Wikipedia no es correcta. Aquí está mi explicación: Imagina las constantes $a$ y $b$ en este formato -

Donde $2a$ es la altura total de la elipse y $2b$ es el ancho total. Luego, puedes encontrar la longitud radial, $r$, en cualquier ángulo $\theta$ al eje mayor como...

$$r(\theta) = \sqrt{(b \sin(\theta))^2 + (a \cos(\theta))^2}$$

...siguiendo simplemente el teorema de Pitágoras. Sin embargo, la ecuación de Wikipedia para la elipse en coordenadas polares es la siguiente:

$$r(\theta) = \frac{ab}{\sqrt{(b \cos(\theta))^2 + (a \sin(\theta))^2}}$$

Aquí está el enlace a la página de Wikipedia: ¿Alguien puede explicar esto, por favor? ¿Por qué dividir por la hipotenusa? ¿Por qué el $ab$? ¡Gracias!

Answer 1

Es más fácil empezar con la ecuación de la elipse en coordenadas rectangulares:

$$(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1$$

Luego sustituye $x = r(\theta)\cos\theta$ y $y = r(\theta)\sin\theta$ y resuelve para $r(\theta)$.

Eso te dará la ecuación que encontraste en Wikipedia.

Answer 2

Ecuación Polar desde el Centro de la Elipse

La ecuación de una elipse es $$ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{a\sqrt{1-e^2}}\right)^2=1\tag1 $$ Usando $x=r\cos(\theta)$ y $y=r\sin(\theta)$ en $(1)$, obtenemos $$ r^2\cos^2(\theta)+\frac{r^2\sin^2(\theta)}{1-e^2}=a^2\tag2 $$ y podemos resolver $(2)$ para $r^2$ para obtener la ecuación polar $$ r^2=\frac{\overbrace{a^2\!\left(1-e^2\right)}^{b^2}}{1-e^2\cos^2(\theta)}\tag3 $$

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Ecuación Polar desde un Foco de la Elipse

Centrado en el foco derecho $$ \left(\frac{x+ae}a\right)^2+\left(\frac{y}{a\sqrt{1-e^2}}\right)^2=1\tag4 $$ Usando $x=r\cos(\theta)$ y $y=r\sin(\theta)$ en $(4)$, obtenemos $$ r^2\cos^2(\theta)+2aer\cos(\theta)+a^2e^2+\frac{r^2\sin^2(\theta)}{1-e^2}=a^2\tag5 $$ lo que nos da la ecuación cuadrática en $r$: $$ \frac{r^2\left(1-e^2\cos^2(\theta)\right)}{1-e^2}+2aer\cos(\theta)-a^2\!\left(1-e^2\right)=0\tag6 $$ cuya solución es $$ r=\frac{a\!\left(1-e^2\right)}{1+e\cos(\theta)}\tag7 $$

Answer 3

EDIT1:

Lo que propusiste al principio como elipse se ve así:

La parametrización de la elipse se hace de manera diferente. Para distinguir más claramente entre ellos deberíamos notar que hay dos $\theta$ s diferentes, a saber $\theta_{deLaHire}$ y la coordenada polar estándar $\theta_{polar}$ utilizada para cónicas centrales, en este caso para la elipse. No nos referimos a la Elipse de Newton ya que no hay consulta al respecto.

El primer ángulo se denota por $ \theta_{deLaHire}$.

Una línea radial fue construida por deLaHire originalmente comienza a un ángulo ligeramente mayor $\theta_{\text{deLaHire}};$ (líneas rojas) cada punto $E$ en la elipse en el primer cuadrante se alcanza dibujando líneas verticales y horizontales desde los puntos de intersección de esta línea polar/radial con los dos radios de los círculos $(a,b)$ en $(P,Q)$, para encontrarse en E como se muestra.

$$ x= a \cos\theta_{deLaHire}\; ; y=b \sin\theta_{deLaHire}\;;\tag1 $$

El segundo ángulo se utiliza en coordenadas polares en la elipse estándar y está medido desde el centro de los círculos. Lo llamamos $\theta_{polar}$ como de costumbre. Línea radial verde.

Para los ejes de una elipse $(a,b)$ a lo largo de los ejes de coordenadas $(x,y)$ respectivamente centrados en el origen, la expresión de Wiki se obtiene en coordenadas polares de la siguiente manera:

Insertando

$$ x=r_{polar}\cos \theta_{polar};\, y=r_{polar}\sin \theta_{polar} ; $$

lanzando la ecuación estándar de una elipse de la forma cartesiana:

$$ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2 =1 $$

para obtener

$$ OE =r_{polar}= \frac{ab}{\sqrt{(b \cos \theta_{polar})^2 + (a \sin \theta_{polar})^2}} \tag 2 $$

En ambos casos los ángulos polares $\theta = 0$ y $\theta= \pi/2$ llegan a los mismos puntos en los extremos de los ejes mayor y menor respectivamente. Las variaciones de ángulo se trazan mostrando por comparación que la línea polar inicial de DeLaHire está inclinada más que (o igual a en los ejes extremos) la coordenada polar central siempre. ¿Puedes descubrir los errores en el segundo y cuarto cuadrante?

Las dimensiones de la elipse dibujada son $(a=5,b=3,e=0.8)$.

Answer 4

Estás cometiendo el error común de usar la coordenada polar en lugar de la anomalía excéntrica, que es el parámetro en las coordenadas de la elipse.

Answer 5

Escribo la forma polar de la ecuación de la elipse en cualquier ubicación arbitraria en este enlace https://www.desmos.com/calculator/gkijxayubk. La fórmula polar propuesta cubre cualquier transformación de una curva de elipse, incluyendo la traslación, reflexión, rotación alrededor del centro de la elipse y rotación alrededor del origen sin distorsión de la forma. La curva transformada conserva su forma original. También publiqué el ajuste de curva de una forma polar de la elipse en esta publicación https://doi.org/10.3390/f14061102. La fórmula está en la imagen adjunta.

fórmula polar general para una elipse