Es $f(x) = Cx\log x$ la única solución para $f(xy) = xf(y) + yf(x)$ ?

Question

Estaba estudiando $L(x) = x \log x$ y se ha comprobado que satisface la siguiente ecuación funcional para el positivo $x, y$ : $$ f: \mathbb R^+ \to \mathbb R\\ f(xy) = x f(y) + y f(x) $$ Tengo la sensación de que $L(x)$ es la única (hasta multiplicar por un término constante) solución a esa ecuación. ¿Cómo lo demuestro?

Answer 1

Introducir una nueva función $g : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ por

$$g(x) = e^{-x} f(e^x).$$

Entonces satisface la Ecuación funcional de Cauchy

$$g(x+y) = g(x) + g(y).$$

Esta ecuación está ampliamente estudiada, e incluso una condición de regularidad leve obligará a que la solución sea de la forma $g(x) = cx$ . Por otro lado, bajo el Axioma de Elección podemos construir una solución que sea no de este formulario.

Answer 2

Supongo que la función $f$ es diferenciable. Sea $y=1$ es fácil de comprobar $f(1)=0$ .

Entonces, $$\lim_{y\rightarrow 1}\frac{f(xy)-f(x)}{xy-x}=\lim_{y\rightarrow 1}\frac{xf(y)+yf(x)-f(x)}{xy-x}=\frac{f(x)}{x}+\lim_{y\rightarrow 1}\frac{f(y)-f(1)}{y-1}$$ Obtenemos una ecuación diferencial, $$f'(x)=\frac{f(x)}{x}+f'(1)$$ Y es fácil encontrar la solución es $$f(x)=f'(1)xlnx$$

Answer 3

Dado que el dominio de $f$ es $\Bbb R_+$ obtenemos una condición equivalente dividiendo ambos lados por $xy$ , a saber $$\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(x)}{x} + \frac{f(y)}{y}.$$ Por definición, esto se cumple si la función $$g(x) := \frac{f(x)}{x}$$ satisface $$g(xy) = g(x) + g(y);$$ una función que satisface esta última propiedad se llama aditivo .

Ahora, cualquier función aditiva monótona sobre $\Bbb R_+$ es un múltiplo de $\log x$ (esto se puede encontrar en Dieudonné, Jean (1969). Fundamentos del análisis moderno 1 . Academic Press. p. 84.). Por lo tanto, si exigimos esta condición en $g$ tenemos $$g(x) = C \log x$$ y por lo tanto $$f(x) = C x \log x$$ como se desee.

Por otro lado, no todas las funciones aditivas son monótonas, por lo que existen funciones $f$ que satisfacen la ecuación de la función pero que no tienen la forma indicada.

Answer 4

Además de la solución de William Huang, esto es lo que he probado.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f(1)=0$ y $f(0)=0.$

Ahora pongamos $x=x$ y $y=1+\frac{h}{x}$

Lo que nos dará, $f(x+h)=xf\left(1+\frac{h}{x}\right)+\left(1+\frac{h}{x}\right)f(x)$

Lo que se simplifica a, $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x}{h}f\left(1+\frac{h}{x}\right)+\frac{f(x)}{x}$$ .

Ahora, tomando los límites que tendremos.

$f'(x)=L+\frac{f(x)}{x}$

Dónde $$L=\lim_\limits{h\to 0}\frac{f\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}$$ que es de la forma $\frac{0}{0}$ . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de lhopitals para ver que $L=f'(1)$ .

Por lo tanto, $f'(x)=f'(1)+\frac{f(x)}{x}$

Sin embargo, la solución a la que es, $f(x)=f'(1)x \ln x$