Elevar al cuadrado una desigualdad trigonométrica

Question

Una pregunta muy, muy básica.

Sabemos que $$-1 \leq \cos x \leq 1$$ Sin embargo, si elevamos al cuadrado todos los lados obtenemos $$1 \leq \cos^2(x) \leq 1$$ que sólo es cierto para algunos $x$ .

El resultado deseado es $$0 \leq \cos^2(x) \leq 1$$ Lo cual, de todos modos, es bastante obvio.

Entonces, ¿qué regla de las desigualdades estoy olvidando?

Answer 1

No se puede deducir que si $a\leq b$ para $a,b\in \mathbb{R}$ entonces $a^2\leq b^2$ . Por ejemplo, para todos los $a\neq b$ ambas negativas, dicha desigualdad es falsa. Sin embargo, puedes plantear tu desigualdad original como $$ 0\leq |\cos x|\leq 1, $$ de lo que se puede deducir $$ 0\leq |\cos^2 x|=\cos^2 x\leq 1, $$ ya que la desigualdad $a^2\leq b^2$ se cumple en el caso de $0\leq a\leq b$ .

Answer 2

Hay una pequeña distinción en la afirmación $a \leq b \; \implies \; a^2 \leq b^2$ y es que esta afirmación sólo es válida cuando $a, b \geq 0$ . Sin embargo, si $a, b \leq 0$ lo contrario es cierto $a \leq b \; \implies \; a^2 \geq b^2$ . Así que tienes que comprobar los signos de los términos que estás elevando al cuadrado en una desigualdad.

Answer 3

Sería mejor decir

En $0\le|{\cos\theta}|\le1$ ,

$0^2\le|{\cos\theta}|^2\le1^2$

$0\le{\cos^2\theta}\le1$

Answer 4

La función cuadrada no es creciente, por lo que no preserva la dirección de la desigualdad. $$-5 < -2 < -1$$ pero $$(-5)^2 > (-2)^2 > (-1)^2$$

Además, la función cuadrada no es monótona, por lo que no preserva en absoluto las desigualdades. $$-1 < 1$$ pero $$(-1)^2 = (1)^2$$

Elevar al cuadrado preserva la desigualdad sólo si ambos lados de la desigualdad son no negativos y por lo tanto pertenecen a una parte del dominio, donde la función cuadrada es estrictamente creciente.

Answer 5

El cuadrado no preserva la desigualdad ya que es una función 2 a 1 sobre $\mathbb{R}$ y, por tanto, no monótona. Eso sí, una función monótona decreciente invertiría la desigualdad y seguiría existiendo una desigualdad válida en sentido contrario.