Estudiar la continuidad de esta función

Question

Hola estoy estudiando cálculo en la universidad y no sé cómo resolver el siguiente ejercicio: Estudiar la continuidad de la siguiente función: $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2-xy}{x+y}&\text{for } x+y\ne0\\ 0 &\text{for }(x,y) =(0,0). \end{cases}$$

He intentado resolverlo con límites iterados y límites direccionales, pero no estoy seguro de que sea correcto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(0,t) = 0$ (para $t \neq 0$ ), pero $$f(t,-t+t^2) = \frac{t^2+t^2-t^3}{t^2} = 2-t,$$ de nuevo para $t \neq 0$ . ¿Qué sucede cuando $t \to 0$ ? Esto demuestra que $f$ no es continua en $(0,0)$ .

Por otro lado, $f$ es continua en todos los demás lugares donde $f$ está definida, ya que el numerador y el denominador son claramente continuos.

Answer 2

Para que la función sea continua en un punto $(x_0,y_0)$ , tiene que demostrar que

$$ \lim f(x,y) = f(x_0,y_0)\quad \mathrm{as}\quad (x,y)\to (x_0,y_0). $$

Para encontrar el límite de la función en el punto $(0,0)$ Utiliza las coordenadas polares $x=r\cos(\theta), y= r\sin(\theta)$ y considerar tomar el límite como $r\to 0.$

Answer 3

Desde la versión 2.4 hasta la más reciente, puedes utilizar el constructor de plugins para ayudarte a crear una estructura básica: https://plugins.qgis.org/plugins/pluginbuilder/

Parece que la versión mínima de QGIS es la 2.0, por lo que debería funcionar incluso en una versión antigua.

Sin embargo, supongo que después de que QGIS llegue a la versión 3, podría haber algunos problemas de compatibilidad.

Answer 4

$$ \text{We choose a path like} \hspace{20mm} y=mx$$ $$ f=\frac{x^2-xy}{x+y}=\frac{x^2-x^2m}{x+my}=\frac{x^2(1-m)}{x(1+m)}$$ $$ \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{x(1-m)}{(1+m)}=\frac{\alpha (1-m)}{(1+m)}$$ $$\text{answer of the limit is depend on path (m) , so } \mathcal{f} \text{ is not continuous} $$

Answer 5

Otra forma de mostrar la no continuidad en $(0,0)$ es demostrar que $f$ no tiene límites en cada vecindad de $(0,0)$ :

Dejemos que $\epsilon > 0 $ y $x\in\mathbb{R}$ tal que $0<x<\frac{\epsilon}{2}$ . Dejemos que $\delta\in\mathbb{R}_+$ . Tenemos $$\|(x, -x + \delta)\|_2 = \sqrt{x^2 + (-x+\delta)^2} = \sqrt{2x^2 - 2x\delta + \delta^2}\\ \leq \sqrt{2x^2 + \delta^2} \leq \sqrt{\frac{\epsilon^2}{2} + \delta^2} < \epsilon $$ para un tamaño suficientemente pequeño $\delta$ Así que $(x, -x + \delta)\in B_{\epsilon}(0,0)$ . Sin embargo, $$ f(x, -x + \delta) = \frac{x^2- x(-x+\delta)}{\delta} = \frac{2x^2}{\delta} - x$$ y vemos que $$ \lim_{\delta\rightarrow 0}\; \left| f(x,-x+\delta) \right| = \infty, $$ es decir $f$ no tiene límites en $B_{\epsilon}(0,0)$ .