oblateness rotacional

Question

Estoy tratando de calcular la cantidad de oblateness que es causada por la rotación planetaria. Me imagino a la fuerza de la gravedad añadida a la fuerza centrífuga causada por la rotación del planeta como sigue:

$\hspace{4cm}$

Es decir, en el punto en cuestión, a una latitud de $\phi$, la distancia desde el eje de rotación es $r\cos(\phi)$. Por lo tanto, la fuerza centrífuga sería $\omega^2r\cos(\phi)$ en una dirección perpendicular al eje de rotación. La radial y tangencial de los componentes se $\omega^2r\cos^2(\phi)$$\omega^2r\cos(\phi)\sin(\phi)$, respectivamente.

Mi suposición es que la superficie del planeta se ajustará de modo que sea perpendicular a la efectiva $g$; es decir, la suma de la gravedad y las fuerzas centrífugas. Esto llevaría a la ecuación $$ \frac{\mathrm{d}r}{r\,\mathrm{d}\phi}=-\frac{\omega^2r\cos(\phi)\sin(\phi)}{g-\omega^2r\cos^2(\phi)} $$ Podemos hacer varias suposiciones aquí, y voy a suponer que $\omega^2r$ es pequeña en comparación a $g$. Por lo tanto, obtenemos $$ \int_{\text{eq}}^{\text{pn}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2} =-\frac{\omega^2}{g}\int_0^{\pi/2}\cos(\phi)\sin(\phi)\,\mathrm{d}\phi $$ lo que conduce a $$ \frac1{r_{\text{pn}}}-\frac1{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2}{2 g} $$ y $$ 1-\frac{r_{\text{pn}}}{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2r_{\text{pn}}}{2g} $$ Sin embargo, la evaluación numérica y Wikipedia parecen indicar que este debe ser el doble de lo que estoy consiguiendo. Es decir, $$ 1-\frac{r_{\text{pn}}}{r_{\text{eq}}} =\frac{\omega^2r^3}{Gm} =\frac{\omega^2r}{g} $$ ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Como es bien conocido desde Newton shell del teorema, el campo gravitacional $g(r)=\frac{GM}{r^2}$ fuera de un esféricamente simétrica de la masa-la distribución es la misma que si la masa total $M$ se sentó en el centro.

Parece que el OP quiere calcular la oblateness de la Tierra en virtud de la simplificación de la suposición de que el backreaction (que la re-distribuido en masa en la Tierra del campo gravitatorio) pueden ser ignorados. En otras palabras, suponemos que el campo gravitacional está dada sólo por el monopolio de la contribución $g(r)=\frac{GM}{r^2}$, y descuidamos mayor multipolo momentos multipolares de expansión.

I) Esto es lo que Marca Eichenlaub hizo en este Phys.SE post. Para comparar dejar que nos reemplazar la latitud $\phi$ con el ángulo polar $\theta=\frac{\pi}{2}-\phi$. El total de la energía potencial es la suma de las gravitacional monopolo la energía potencial y la energía potencial centrífugo

$$\tag{1} U~=~- \frac{GM}{r}-\frac{(\omega r \sin \theta)^2}{2}. $$

El punto ahora es que (en este modelo idealizado) de la superficie de la Tierra es una superficie equipotencial. ("Más el agua de los océanos se apresurara a re-distribuir a sí mismo.") La comparación de Ecuador y el polo Norte conduce a

$$\tag{2} g(a)h~\approx~\frac{GM}{b}-\frac{GM}{a}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{(\omega a)^2}{2}~>~0, $$

donde $a$ $b$ son de la zona ecuatorial y polar radio de la Tierra, respectivamente; y $h:=a-b\ll a$ es el buscado por la diferencia de altura. La ecuación (2) conduce precisamente a la Marca Eichenlaub del monopolo resultado para $h$, $\frac{2}{5}$ más pequeño que el cuadrupolo resultado.

II) Por otro lado, si podemos diferenciar eq. (1), obtenemos precisamente OP equilibrio de fuerzas fórmula

$$\tag{3} 0~=~\mathrm{d}U~=~\left(g(r)-(\omega\sin \theta)^2 r\right)\mathrm{d}r -(\omega r )^2\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta. $$

En este punto, OP ignora la dependencia radial de $g(r)$, y la trata como una constante $g$. Este modelo corresponde a un potencial total de energía

$$\tag{4} V~=~ gr-\frac{(\omega r \sin \theta)^2}{2}. $$

La comparación de Ecuador y el polo Norte conduce a

$$\tag{5} gh~=~g b-ga~\stackrel{(4)}{=}~-\frac{(\omega a)^2}{2}~<~0, $$

que predice un prolato la Tierra en lugar de un oblato de la Tierra.

III) el Próximo OP supone que una de las centrífugas términos de $(\omega\sin \theta)^2 r \ll g$ en eq. (3) es pequeña y debe ser ignorado. Esto significa que la eq. (3) ya no es un perfecto diferencial. Sin embargo, un factor de integración es $\frac{1}{r^2}$, lo que nos lleva a una primera integral

$$ \tag{6} W~=~ -\frac{g}{r}-\frac{(\omega \sin \theta)^2}{2}. $$

La comparación de Ecuador y el polo Norte conduce a

$$\tag{7} \frac{gh}{ab}~=~\frac{g}{b}-\frac{g}{a}~\stackrel{(6)}{=}~\frac{\omega^2}{2}~>~0, $$

los que extraordinariamente se reproduce Marca Eichenlaub del monopolo resultado (2). En otras palabras, dos no-tan-pequeño-aproximaciones OP ha cancelado.

Answer 2

Problema es que con la Asunción:

... Voy a suponer que $\omega^{2}r$ es pequeño en comparación con $g$

Esto significa: fuerza centrífuga en el Ecuador es insignificante.
Y esto no puede ser verdad, porque el planeta quedaría perfecta esfera.

(Nota: se utilizó la palabra "pequeño" como "insignificante" al construir la ecuación)