La exactitud de una secuencia corta de cociente de los módulos

Question

Supongamos que R es un anillo conmutativo con 1, I $\subset R$ es un ideal.

Hemos de R-Módulos a, B y C con C, siendo plana, así como una breve secuencia exacta

$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$

Considere la posibilidad de la inducción de secuencia

$0 \rightarrow A/IA \rightarrow B/IB\rightarrow C/IC\rightarrow 0$

Cómo puedo demostrar que esta secuencia es exacta? No tengo idea de cómo la curvatura de C podría entrar en juego, o para ser más específicos, ¿cómo puedo utilizar la exactitud de $C\otimes\_$ (esta es la única definición de nivelación que tenemos hasta el momento).

Cualquier consejo en la dirección correcta sería apreciada.

Answer 1

Si $0 \to A \to B \to C \to 0$ es exacta, entonces se aplican $R/I \otimes_R -$ para obtener el exacto $$\operatorname{Tor}(R/I, C) \to R/I \otimes A \to R/I \otimes B \to R/I \otimes C \to 0.$$ Since $C$ is flat Tor(−,C) = 0, and $R/I \otimes M = M/IM$, se obtiene exactamente lo que usted pidió.

Alexander Thumm la respuesta es, básicamente, incluyendo un zig-zag lema a probar Tor es "equilibrado". En otras palabras, tenemos, por definición, que Tor(C,−) = 0, como, si nos tensor con C , entonces no hay "plazo adicional" en la izquierda, pero me sneakily que utiliza Tor(−,C) = 0, por lo que también puedo tensor de cosas que terminan con C y mantener la exactitud.

Usted puede tratar de probar su pregunta original directamente de abelian grupos. Esto es bastante traducción literal de "torsión" (como en nx = 0) en la "torsión functor" (como en Tor(−,C)).

Answer 2

Sugerencia: ¿por Qué es el diagrama siguiente exactas/conmutativa?

$$\matriz{ &&&&&&0& \\ &&&&&&\downarrow& \\ && A \otimes I & \a & B \otimes I & \a & C \otimes I & \ & 0 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&& \\ 0 & \ & \otimes R & \a & B \otimes R & \a & C \otimes R & \ & 0 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&& \\ && A \otimes R/I & \a & B \otimes R/I & \a & C \otimes R/I & \ & 0 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&& \\ &&0&&0&&0&& \\ }$$

Ahora a tratar de demostrar, que el mapa de $A \otimes R/I \to B \otimes R/I$ es un monomorphism.

Para la integridad de la respuesta, voy a añadir el diagrama de yoga, pero primero debe tratar de resolver esto por sí mismo. Aquí vamos:

Deje $a'' \in A\otimes R/I$$a'' \mapsto 0 \in B\otimes R/I$$a \in A \cong A \otimes R$$a \mapsto a''$. Ahora vamos a $b \in B \cong B\otimes R$ ser la imagen de $a$ bajo el mapa de $A \otimes R \to B \otimes R$. Por la conmutatividad del diagrama, tenemos $b \mapsto 0 \in B \otimes R/I$. Por exactitud, hay un $b' \in B \otimes I$$b' \mapsto b$. Ahora vamos a $c' \in C \otimes I$ ser la imagen de $b'$ bajo el mapa de $B\otimes I \to C \otimes I$. Por exactitud y conmutatividad tenemos $c' \mapsto 0$$C\otimes I \to C \otimes R$. De nuevo por ecaxtness (el mapa de $C\otimes I \to C \otimes R$ es un monomorphism) tenemos $c' = 0$, por lo que hay un $a' \in A \otimes I$$a' \mapsto b'$$A\otimes I \to B \otimes I$. Deje $\tilde a \in A \otimes R$ ser la imagen de $a'$ bajo el mapa de $A\otimes I \to A \otimes R$. Por conmutatividad tenemos $\tilde a \mapsto b$. Por exactitud ($A\otimes R \to B \otimes R$ es un monomorphism) tenemos $\tilde a = a$, así que por exacness $a'' = 0$, ya que el $a' \mapsto \tilde a = a \mapsto a''$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $A/IA \cong A\otimes _R (R/I)$. Ahora aplique el functor $-\otimes R/I$ a su corta secuencia exacta. Usted consigue una larga secuencia exacta, debido a que $\otimes$ no es exacto, pero planitud implica que cualquier tor grupos que involucren a $C$ se desvanecen.